Cierre de un conjunto de funciones en $ C([0,\infty),\mathbb{R})$ equipado con $d_\infty$

Question

Estoy tratando de encontrar el cierre de $(f_n)\subset C([0,\infty),\mathbb{R})$ equipado con $d_\infty$ donde $$f_n(x) = \sin\big(\sqrt{x+4n^2\pi^2}\big)$$ para todos $n\in\mathbb{N}$ y $x\in[0,\infty)$ .

Aquí $C([0,\infty),\mathbb{R})$ es el conjunto de funciones continuas de $[0,\infty)$ a $\mathbb{R}$ .

He demostrado que $f_n\rightarrow 0$ puntualmente y por tanto si $(f_n)$ converge en el espacio métrico $\big(C([0,\infty),\mathbb{R}),d_\infty\big)$ entonces $(f_n)$ converge uniformemente y por tanto debe converger al límite puntual $0$ .

Sin embargo la convergencia no es uniforme ya que para cada $n$ :

$$\frac{1}{2}\leq\sup_{x\in [0,\infty)}|\sin\big(\sqrt{x+4n^2\pi^2}\big)|.$$ Así que el cierre es sólo $(f_n)$ (desde entonces $(f_n)$ no puede converger uniformemente y entonces no puede converger en el espacio métrico).

¿Es correcto?

Answer 1

El cierre de $(f_n)$ consiste en $(f_n)$ y todos los límites de las sucesiones de $(f_n)$ . Así que para demostrar que el cierre de $(f_n)$ es ella misma, hay que demostrar que ninguna sucesión de $(f_n)$ converge. Se aplican los mismos argumentos: El único límite posible de una subsecuencia sería $0$ lo que no es posible a partir de la desigualdad que has proporcionado.