¿Cuál será la probabilidad de que la suma de n números aleatorios sea mayor que X?

Question

Quiero averiguar una forma/fórmula mediante la cual pueda calcular la probabilidad de la suma de $n$ números aleatorios sean mayores que $X$ . Todos los números aleatorios caen en el rango de $[-1000 , -1.01]\cup \{0\}\cup [1.01,1000]$ y el tamaño del paso es $0.01$

Cada número aleatorio se elige de forma independiente.

Caso práctico: Estoy trabajando en el proyecto de desarrollo de un motor de juegos. En cada ronda se otorga a un jugador una puntuación aleatoria comprendida entre $[-1000 , -1.01]\cup \{0\}\cup [1.01,1000]$ . Al principio, el jugador puede apostar que tras n rondas de juego la suma total de su puntuación será X. Sólo quiero obtener la probabilidad de acierto de su apuesta.

Progreso actual - De alguna manera pude obtener los resultados utilizando el método de fuerza bruta ( n problema de lanzar dados ), pero el método de fuerza bruta requiere mucha potencia de cálculo. Quiero una fórmula/solución eficiente (en términos de computación)

No sé si Convolutions es el enfoque adecuado para ello.

Gracias de antemano por la ayuda.

Answer 1

Aparte del cálculo por fuerza bruta, no creo que haya otra forma de calcular la probabilidad con exactitud (podría equivocarme). Pero hay una forma muy sencilla de obtener un buen límite superior de la misma. Proporcionaré una solución aproximada a tu problema. Si el problema es computacional y no te importa una solución exacta, entonces esto será útil.

Si $Y_1,...,Y_n$ son variables aleatorias iid tales que $P(Y_i\in[a,b])=1$ entonces por Desigualdad de Hoeffding para $t>0$ , $$P\left(\sum_{i=1}^n(Y_i-E[Y_i])\geq t\right)\leq \exp\left(\dfrac{-2t^2}{n(b-a)}\right).$$ En su caso, si $Y_i\in[-1000,1000]$ uniformemente (o para cualquier distribución simétrica), tenemos que $E[Y_i]=0$ y $$P\left(\sum_{i=1}^nY_i\geq t\right)\leq \exp\left(\dfrac{-t^2/n}{1000}\right).$$ (Tenga en cuenta que esto sólo funciona para $t>0$ .)