Esta pregunta está relacionada con pregunta 92206 "¿Qué propiedades hacen $[0, 1]$ ¿un buen candidato para definir los grupos fundamentales?" pero no es exactamente equivalente en mi opinión. Incluso se sugiere en una de las respuestas a 92206 que "no hay nada fundamental en el intervalo unitario", pero me gustaría saber qué es fundamental en el intervalo unitario . He aprendido algunas respuestas de las respuestas a 92206 pero me pregunto si hay algo más. Otra pregunta relacionada: "Caracterización topológica de la línea real" .
La cuestión es:
¿Cuál sería una caracterización topológica "natural" del intervalo cerrado $[0,1]$ ?
Preguntas motivadoras (por favor, no las responda):
- ¿Por qué toda la topología algebraica se construye a su alrededor?
- ¿Por qué aparece (bajo la forma de grupos de Lie) en el estudio de los grupos topológicos generales localmente compactos ( Teorema de Gleason-Yamabe )?
- ¿Es realmente necesario definirlo algebraicamente como subconjunto de un campo ( $\mathbb R$ ) sólo para utilizarlo como espacio topológico?
Me interesa sobre todo el significado de $[0, 1]$ para el estudio de los compactos de Hausdorff (como la metrizabilidad, el lema de Urysohn).
Tengo algunas ideas y ya he preguntado en Math.StackExchange pero decidí duplicarlo aquí.
Una forma puramente topológica de definir $[0, 1]$ hasta el homeomorfismo sería definir conectividad del camino primero: $x_1$ y $x_2$ son conectados por un camino en un espacio topológico $X$ si para cada Hausdorff compacto $C$ y $a,b\in C$ existe una $f\colon C\to X$ tal que $f(a)=x_1$ y $f(b)=x_2$ . Entonces puede decirse que en todo espacio de Hausdorff $X$ con $x_1$ y $x_2$ conectados por un camino, todo subespacio mínimo en el que $x_1$ y $x_2$ siguen conectadas por un camino es homeomorfo a $[0, 1]$ .
Quizá en cierto sentido pueda decirse que $[0, 1]$ es el espacio "mínimo" de Hausdorff $X$ tal que todo compacto Hausdorff se incrusta en $X^N$ para algunos $N$ pero no sé si se puede precisar.
En una de las respuestas a 92206 se afirmó que $([0, 1], 0, 1)$ es un objeto terminal de la categoría de espacios bipuntos dotado de la operación de "concatenación". Este es el tipo de respuestas que me interesan. Como 92206 se refería sobre todo al grupo fundamental y etiquetado sólo con [at.algebraic-topology] y [homotopy-theory], estoy haciendo esta pregunta topológica general por separado.
