Caracterización topológica del intervalo cerrado $[0,1]$

Question

Esta pregunta está relacionada con pregunta 92206 "¿Qué propiedades hacen $[0, 1]$ ¿un buen candidato para definir los grupos fundamentales?" pero no es exactamente equivalente en mi opinión. Incluso se sugiere en una de las respuestas a 92206 que "no hay nada fundamental en el intervalo unitario", pero me gustaría saber qué es fundamental en el intervalo unitario . He aprendido algunas respuestas de las respuestas a 92206 pero me pregunto si hay algo más. Otra pregunta relacionada: "Caracterización topológica de la línea real" .

La cuestión es:

¿Cuál sería una caracterización topológica "natural" del intervalo cerrado $[0,1]$ ?

Preguntas motivadoras (por favor, no las responda):

• ¿Por qué toda la topología algebraica se construye a su alrededor?
• ¿Por qué aparece (bajo la forma de grupos de Lie) en el estudio de los grupos topológicos generales localmente compactos ( Teorema de Gleason-Yamabe )?
• ¿Es realmente necesario definirlo algebraicamente como subconjunto de un campo ( $\mathbb R$ ) sólo para utilizarlo como espacio topológico?

Me interesa sobre todo el significado de $[0, 1]$ para el estudio de los compactos de Hausdorff (como la metrizabilidad, el lema de Urysohn).

Tengo algunas ideas y ya he preguntado en Math.StackExchange pero decidí duplicarlo aquí.

Una forma puramente topológica de definir $[0, 1]$ hasta el homeomorfismo sería definir conectividad del camino primero: $x_1$ y $x_2$ son conectados por un camino en un espacio topológico $X$ si para cada Hausdorff compacto $C$ y $a,b\in C$ existe una $f\colon C\to X$ tal que $f(a)=x_1$ y $f(b)=x_2$ . Entonces puede decirse que en todo espacio de Hausdorff $X$ con $x_1$ y $x_2$ conectados por un camino, todo subespacio mínimo en el que $x_1$ y $x_2$ siguen conectadas por un camino es homeomorfo a $[0, 1]$ .

Quizá en cierto sentido pueda decirse que $[0, 1]$ es el espacio "mínimo" de Hausdorff $X$ tal que todo compacto Hausdorff se incrusta en $X^N$ para algunos $N$ pero no sé si se puede precisar.

En una de las respuestas a 92206 se afirmó que $([0, 1], 0, 1)$ es un objeto terminal de la categoría de espacios bipuntos dotado de la operación de "concatenación". Este es el tipo de respuestas que me interesan. Como 92206 se refería sobre todo al grupo fundamental y etiquetado sólo con [at.algebraic-topology] y [homotopy-theory], estoy haciendo esta pregunta topológica general por separado.

Answer 1

No hace mucho (2005) Harvey Friedman anunció una atractiva y novedosa caracterización del intervalo unitario que parece ser poco conocida, y que podría ser el tipo de respuesta que usted está buscando:

Hasta el isomorfismo, el intervalo unitario es el único conjunto completo totalmente ordenado (con puntos extremos) que tiene una "función de separación" continua ".

[Dado que las operaciones aritméticas son continuas, es evidente que existen muchas funciones continuas de interrelación en el intervalo unitario].

He aquí la caracterización oficial:

Teorema (H. Friedman). Sea $X$ sea un conjunto linealmente ordenado con extremos izquierdo y derecho y la propiedad de mínimo superior. Las dos afirmaciones siguientes son equivalentes:

(a) $X$ es isomorfo al intervalo unitario cerrado habitual.

(b) Hay algunos $f:X^{2}\rightarrow X$ que es continua con respecto a la topología de orden en $X$ y $x < f(x,y) < y$ siempre que $x < y$ .

La prueba de Friedman aparece en esta publicación de FOM .

PS : La demostración de Friedman, unida a las técnicas habituales de imposición de un orden a un continuo con a lo sumo dos puntos no cortados (el "orden de separación") da como resultado lo siguiente puramente topológico caracterización [la principal idea nueva es: en la caracterización clásica del intervalo unitario como el único segundo continuo contable con exactamente dos puntos no cortados, "segundo contable" se puede cambiar por "soporta una función de separación continua relativa al orden de separación"].

Teorema . Hasta el homeomorfismo, el intervalo unitario es el único continuo $X$ (Hausdorff, conectada y compacta) en la que todos los puntos de $X$ son puntos de corte, y que además tiene la propiedad de que $X^2$ admite una función "betweenness" continua (relativa al orden de separación).

Answer 2

La siguiente caracterización topológica es próxima a la de la recta real que es indicada en otro hilo MO pero no parece que se haya señalado aquí.

Sea $X$ sea un espacio topológico, y $a,b$ sean puntos de $X$ tal que $a\neq b$ . Supongamos que $X$ es compacta, conexa y separable. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. Existe un homeomorfismo $f\colon [0,1]\to X$ tal que $f(0)=a$ y $f(1)=b$ .
2. Todo subconjunto conexo de $X$ que contiene $\lbrace a,b\rbrace$ es igual a $X$ .
3. El espacio $X$ es localmente conexo, y cualquier subconjunto conexo y compacto de $X$ que contiene $\lbrace a,b\rbrace$ es igual a $X$ .
4. Por cada $x\in X\setminus\lbrace a,b\rbrace$ el espacio $X\setminus\lbrace x\rbrace$ no está conectado.

Answer 3

Un espacio que es homeomorfo al intervalo unitario cerrado se denomina arco simple en la monografía "Dynamic topology" de Whyburn y Duda y hay una caracterización del mismo en la p. 70 de este libro. Esto supone que el espacio dado es un espacio métrico, condición que puede evitarse utilizando el teorema de metrización de Urysohn.

A petición, la caracterización es la siguiente: un espacio es un arco simple si y sólo si es un conjunto compacto no degenerado (es decir, con más de un punto), conexo, que es contable en segundo lugar y tal que cada punto (con la excepción de dos especificados--los puntos finales) es un punto de corte. (Un punto de un espacio conexo es un punto de corte si su complemento está desconectado).

Answer 4

Consideremos la clase de todos los compactos de Hausdorff con puntos distintos (es decir, que tienen más de $1$ punto) que son repliegues absolutos en la clase de los compactos de Hausdorff. Entonces $[0,1]$ es hasta el homeomorfismo el único miembro de esta clase que se incrusta en todos los demás.

Answer 5

Esto es sólo una suposición, no sé si es cierto, pero me parece plausible.

Considera todos los trillizos $(X, x_0, x_1)$ donde $X$ es un compacto, segundo contable espacio de Hausdorff conexo, y $x_0,x_1$ son puntos distintos en $X$ . Decimos que la tripleta satisface la propiedad $P$ si se cumple lo siguiente.

• Para cualquier $x\in X$ , $x\neq x_0,x_1$ el complemento $X\setminus \lbrace x\rbrace$ tiene exactamente dos componentes conexas, cada una de las cuales contiene exactamente uno de los puntos $x_0,x_1$ . Denotemos por $C_i$ el componente que contiene $x_i$ , $i=0,1$ .
• Establecer

$$\bar{C}_i:= C_i\cup\lbrace x\rbrace$$

A continuación, cada uno de los tripletes $(\bar{C}_i, x_i,x)$ es homeomorfo al triplete $(X, x_i, x_{1-i})$ .

Ésta es mi reclamación un triplete $(X.x_0,x_1)$ cumple la propiedad $P$ si y sólo si es homeomorfo al triplete $(\; [0,1],0,1\;)$

Agradecimientos. Quiero dar las gracias a todos los comentaristas por sus útiles explicaciones. (He añadido segunda contabilidad a mi reclamación que resultó ser un resultado antiguo). He aquí una simple observación de impar que me parece intrigante, y que puede ser útil o no.

Obsérvese que en el espacio $\newcommand{\eT}{\mathscr{T}}$ $\eT$ de (tipos de homeomorfismos de) segundo contable, compacto, conectado trillizos de Hausdorff $(X,x_0,x_1)$ existe una estructura de semigrupo asociativo

$$ (X, x_0,x_1)* (Y,y_0,y_1)= (Z,x_0,y_1), $$

donde $Z$ es el espacio obtenido pegando $X$ a $Y$ identificando $x_1$ con $y_0$ . Esta operación interviene claramente en la definición del grupo fundamental.

Denote por $\newcommand{\be}{\boldsymbol{e}}$ $\be$ el triplete $([0,1],0,1)$ . Observe que $\be$ es un idempotente $\be\ast\be=\be$ . Sólo este hecho hace posible la definición del grupo fundamental.

Los resultados descritos en los comentarios muestran que $\be$ se caracteriza por la propiedad

$$ \be =t_1\ast t_2,\;\;t_1,t_2\in \eT \Longleftrightarrow t_1=t_2=\be. $$

He aquí una pregunta divertida. ¿Es cierto que $\be$ es el único idempotente del semigrupo $(\eT,\ast)$ ? Me inclino a creer que la respuesta es positiva.