¿Las estadísticas no son matemáticas?

Question

¿La estadística es matemática o no?

Dado que todo son números, que la mayoría de las veces se imparten en departamentos de matemáticas y que se obtienen créditos matemáticos por ello, me pregunto si la gente lo dice medio en broma, como diciendo que es una parte menor de las matemáticas, o simplemente matemáticas aplicadas.

Me pregunto si algo como la estadística, donde no se puede construir todo sobre axiomas básicos, puede considerarse matemáticas. Por ejemplo, la $p$ -valor, que es un concepto que surgió para dar sentido a los datos, pero no es una consecuencia lógica de principios más básicos.

Answer 1

Las matemáticas se ocupan de abstracciones idealizadas que (casi siempre) tienen soluciones absolutas, o el hecho de que no exista tal solución puede describirse generalmente de forma completa. Es la ciencia de descubrir consecuencias complejas pero necesarias a partir de axiomas sencillos.

La estadística utiliza las matemáticas, pero no es matemática. Son conjeturas. Es un juego de azar.

La estadística no se ocupa de abstracciones idealizadas (aunque utiliza algunas como herramientas), sino de fenómenos del mundo real. Las herramientas estadísticas suelen hacer suposiciones simplificadoras para reducir los desordenados datos del mundo real a algo que encaje en el dominio del problema de una abstracción matemática resuelta. Esto nos permite hacer conjeturas con conocimiento de causa, pero eso es realmente todo lo que es la estadística: el arte de hacer conjeturas muy bien informadas.

Considere la comprobación de hipótesis con valores p. Digamos que estamos probando alguna hipótesis con significación $\alpha = 0.01$ y tras recopilar los datos encontramos un valor p de $0.001$ . Por tanto, rechazamos la hipótesis nula a favor de una hipótesis alternativa.

Pero, ¿qué es realmente este valor p? ¿Qué significa? Nuestra estadística de prueba se desarrolló de forma que se ajustara a una distribución concreta, probablemente la t de Student. Bajo la hipótesis nula, el percentil de nuestra estadística de prueba observada es el valor p. En otras palabras, el valor p da la probabilidad de que obtengamos un valor tan alejado de la expectativa de la distribución (o más alejado) como el estadístico de prueba observado. El nivel de significación es una regla bastante arbitraria: si se fija en $0.01$ equivale a decir: "es aceptable si 1 de cada 100 repeticiones de este experimento sugiere que rechazamos el nulo, aunque el nulo sea de hecho cierto".

El valor p nos da la probabilidad de que observemos los datos en cuestión dado que el nulo es verdadero (o más bien, poniéndonos un poco más técnicos, que observamos datos bajo la hipótesis nula que nos dan al menos un valor tan extremo de la estadística probada como el que encontramos). Si vamos a rechazar la nula, queremos que esta probabilidad sea pequeña, que se aproxime a cero. En nuestro ejemplo concreto, encontramos que la probabilidad de observar los datos que recogimos si la hipótesis nula fuera cierta era de sólo $0.1\%$ por lo que rechazamos la nula. Se trataba de una conjetura. Nunca realmente No podemos estar seguros de que la hipótesis nula sea falsa con estos métodos, sólo desarrollamos una medida de la fuerza con la que nuestras pruebas apoyan la alternativa.

¿Hemos utilizado las matemáticas para calcular el valor p? Claro, pero las matemáticas no nos dieron nuestra conclusión. Basándonos en las pruebas, nos formamos una opinión fundamentada, pero sigue siendo una apuesta. Hemos descubierto que estas herramientas son extremadamente eficaces en los últimos 100 años, pero la gente del futuro podría preguntarse horrorizada por la fragilidad de nuestros métodos.

Answer 2

Con la lengua en la mejilla:

Al parecer, Einstein escribió

En la medida en que las leyes matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas; y en la medida en que son ciertas, no se refieren a la realidad.

así que la estadística es la rama de las matemáticas que describe la realidad ;o)

Yo diría que la estadística es una rama de las matemáticas del mismo modo que la lógica es una rama de las matemáticas. Ciertamente incluye un elemento de filosofía, pero no creo que sea la única rama de las matemáticas en la que esto ocurre (véase, por ejemplo, Morris Kline, "Mathematics - The Loss of Certainty", Oxford University Press, 1980).

Answer 3

Bueno, si usted dice que " algo como la estadística, donde no se puede construir todo sobre axiomas básicos "entonces probablemente debería leer sobre la teoría axiomática de la probabilidad de Kolmogorov. Kolmogorov define la probabilidad de forma abstracta y axiomática, como puede verse en este pdf en la página 42 o aquí al final de la página 1 y páginas siguientes .

Para que se haga una idea de sus definiciones abstractas, define una variable aleatoria como una función "medible", tal y como se explica de forma más "intuitiva" aquí: Si una variable aleatoria es una función, ¿cómo se define una función de una variable aleatoria?

Con un número muy limitado de axiomas y utilizando resultados de (de nuevo matemáticas) la teoría de la medida puede definir conceptos como variables aleatorias, distribuciones, probabilidad condicional, ... de forma abstracta y derivar todos los resultados bien conocidos como la ley de los grandes números, ... a partir de este conjunto de axiomas. Te aconsejo que lo pruebes y te sorprenderás de su belleza matemática.

Para una explicación sobre los p-valores me remito a: ¿Ha entendido mal un valor P?

Answer 4

No tengo ninguna base rigurosa o filosófica para responder a esto, pero he oído la queja de que "las estadísticas no son matemáticas" a menudo por parte de gente, normalmente de tipo físico. Creo que la gente quiere garantías de certeza en sus matemáticas, y la estadística (normalmente) sólo ofrece conclusiones probabilísticas con valores p asociados. En realidad, esto es exactamente lo que me gusta de la estadística. Vivimos en un mundo fundamentalmente incierto, y hacemos lo que podemos para comprenderlo. Y hacemos un gran trabajo, todo sea dicho.

Answer 5

Quizá sea porque soy un plebeyo y no he hecho ningún curso avanzado de matemáticas, pero no veo por qué las estadísticas no son matemáticas. Los argumentos aquí y sobre una pregunta duplicada parecen argumentar dos puntos principales sobre por qué la estadística no es matemática * .

1. No es exacto ni seguro y, como tal, se basa en suposiciones.
2. Aplica las matemáticas a los problemas y siempre que se aplican las matemáticas dejan de ser matemáticas.

No es exacto y utiliza suposiciones

Las suposiciones/aproximaciones son útiles para muchas matemáticas.

Creo que las propiedades de un triángulo que aprendí en la escuela primaria se consideran verdaderas matemáticas, aunque no sean válidas en la geometría no elucideana. Así que claramente una admisión de los límites, o dicho de otra manera "suponiendo XYZ lo siguiente es válido", a una rama de las matemáticas no descalifica la rama de ser "verdaderas" matemáticas.

Estoy seguro de que el cálculo se consideraría una forma pura de matemáticas, pero los límites son la herramienta principal sobre la que la construimos. Podemos seguir calculando hasta el límite, del mismo modo que podemos seguir aumentando el tamaño de una muestra, pero ninguna de las dos cosas proporciona más información a partir de un determinado umbral.

Una vez que aplicas las matemáticas ya no son matemáticas

La contradicción obvia aquí es que usamos las matemáticas para demostrar teoremas matemáticos, y nadie argumenta que demostrar teoremas matemáticos no sean matemáticas.

La siguiente afirmación podría ser que thing x no es matemática si utilizas las matemáticas para obtener un resultado. Eso tampoco tiene sentido.

La afirmación con la que estaría de acuerdo es que cuando se utilizan los resultados de un cálculo para tomar una decisión, entonces la decisión no es matemática . Eso no significa que el análisis que lleva a la decisión no sea matemático. .

Creo que cuando utilizamos el análisis estadístico todas las matemáticas que se realizan son matemáticas reales. La estadística sólo sale de las matemáticas cuando entregamos los resultados a alguien para que los interprete. Como tales, los estadísticos y los estadísticos hacen verdaderas matemáticas y son verdaderos matemáticos. Lo que no es matemático es la interpretación que hace la empresa y/o la traducción de los resultados a la empresa por parte del estadístico.

De los comentarios:

whuber dijo:

Si sustituyera "estadística" por "química", "economía", "ingeniería" o "ingeniería" o cualquier otro campo que emplee las matemáticas (como la economía doméstica), parece que ninguno de sus argumentos cambiaría.

Creo que la diferencia clave entre "química", "ingeniería" y "hacer balance de mi chequera" es que esos campos utilizar los existentes conceptos matemáticos. Tengo entendido que estadísticos como Guass ampliado el cuerpo de conceptos matemáticos. Creo que (esto puede ser totalmente erróneo) que para obtener un doctorado en estadística hay que contribuir, de alguna manera, a ampliar el cuerpo de conceptos matemáticos. Que yo sepa, los candidatos al doctorado en Química o Ingeniería no tienen ese requisito.

La distinción que estadísticas contribuye al conjunto de conceptos matemáticos es lo que lo diferencia del otros campos que simplemente utilice conceptos matemáticos .

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*: La excepción notable es esta respuesta que afirma efectivamente que las fronteras son artificiales debido a diversas razones sociales. Creo que esa es la única respuesta verdadera, pero ¿dónde está la diversión en eso? ;)