¿Por qué la suma de dos notación "o" minúscula es igual a la notación "o" minúscula de la suma?

Question

¿Por qué la suma de dos notación "o" minúscula es igual a la notación "o" minúscula de la suma?

$o( f(n) ) + o( g(n) ) = o( f(n) + g(n) ) ?$

Por ejemplo:

• $f(n) = n^3$
• $g(n) = 1/n$

así que

• $o(f(n)) = n^2$
• $o(g(n)) = 1/n^2$

y

• $o( f(n) ) + o( g(n) ) = n^2 + 1/n^2$
• $o( f(n) + g(n) ) = n^2$

Por supuesto, podría escribirlo como

• $o( f(n) ) + o( g(n) ) = n^2 + o( g(n) )$
• $o( f(n) + g(n) ) = n^2 + o( g(n) )$

Mi pregunta es ¿por qué? No lo entiendo, porque en primero nos siempre obtener dos parámetros.

Answer 1

En esta notación siempre suponemos que la función que aparece en el paréntesis es positiva, para un contraejemplo de esta igualdad cuando no se aplica esta suposición, podemos tomar $1=o(n^2)$ y $0=o(1-n^2)$ que se contradice con $1=o(1)$ .

Con estas observaciones tenemos $$ \left|\lim_{n\to \infty} \frac{o(f(n))+o(g(n))}{f(n)+g(n)}\right|\le \left|\lim_{n\to \infty} \frac{o(f(n))}{f(n)}+\lim_{n\to \infty} \frac{o(g(n))}{g(n)}\right|=0 $$ Como queramos. $\square$