Demostrar que la inversión es un operador suave

Question

Considere el operador

$$I: GL_n \to Gl_n : A \mapsto A^{-1}$$

que envía una matriz invertible a su inversa.

Identificación de $Mat_n \cong \mathbb{R}^{n^2}$ a través del mapa

$$\phi:A = (a_{ij}) \mapsto (a_{11}, \dots , a_{1n}, \dots, a_{n1}, \dots, a_{nn})$$

Quiero demostrar que $I:V = \phi(GL_n) \subseteq \mathbb{R}^{n^2} \to \mathbb{R}^{n^2}: \phi(A) \mapsto \phi(I(A)) = \phi(A^{-1})$ i mapa suave. Es decir, $I \in C^{\infty}$ .

Lo primero que hay que demostrar es que $\phi(GL_n)$ es un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^{n^2}$ pero está bien porque $GL_n(\mathbb{R})$ está abierto en $Mat_n(\mathbb{R})$ donde este último está dotado de cualquier topología derivada de una norma (porque todas las normas en un espacio vectorial de dimensión finita son equivalentes), y porque el mapa $\phi$ es un homeomorfismo (para demostrarlo, podemos elegir normas convenientes en los espacios y escribir una rápida $\epsilon- \delta$ argumento).

¿Es correcto hasta ahora?

¿Cómo podría seguir mostrando que $I$ es $C^\infty$ ? Creo que la fórmula $A^{-1} = (\det A )^{-1} \operatorname{adj}(A)$ es relevante.

También basta con demostrar que todas las funciones componentes $f_{ij}: V \to \mathbb{R}:(a_{11}, \dots , a_{1n}, \dots, a_{n1}, \dots, a_{nn}) \mapsto a_{ij}^{-1}$ son de clase $C^\infty$ donde $(a_{ij})^{-1}$ es la entrada de $A^{-1}$ en el lugar $(i,j)$ .

Answer 1

Sí, la fórmula $A^{-1}=(\det A)^{-1}\operatorname{adj}(A)$ es relevante aquí. Cada entrada de $\operatorname{adj}(A)$ es una función polinómica de las entradas de $A$ . Y, por supuesto, $\det A$ también es una función polinómica de las entradas de $A$ . Pero las funciones polinómicas son suaves. Por lo tanto, la inversión es suave.

Answer 2

Sí, se deduce exactamente de la fórmula $A^{-1}=\frac{1}{detA}adj(A)$ . $\frac{1}{detA}$ es sólo un escalar, cada entrada en $adj(A)$ es un determinante, y un determinante sólo se calcula con un número finito de operaciones de suma y multiplicación por lo que es $C^\infty$ . Supongo que debería haberlo explicado ayer en su pregunta anterior.