Multiplicador de Lagrange - sistema de ecuaciones

Question

Estoy tratando de obtener el extremo de una función $x + y²$ con una restricción $2x² + y² = 1$ mediante multiplicadores de Lagrange. La función de Lagrange es $x + y² + \lambda (2x² + y² - 1)$ . Tengo tres derivadas parciales:

1. $$1 + 4\lambda x = 0$$
2. $$2y + 2\lambda y = 0$$
3. $$2x² + y² - 1 = 0$$

Mi planteamiento para resolverlos para x e y es el siguiente:

1. $$ 2\lambda = - 1 / 2x$$
2. $$ 2\lambda = - 2y / y = -2$$ $$-1/2x = -2$$ $$x = 1/4 $$ Enchufar en la restricción: $$2(1/4)² + y² = 1$$ $$1 - 2/16 = y²$$ $$y = \pm \sqrt{7/8}$$ Así que tengo 2 puntos $(1/4, -\sqrt{7/8})$ y $(1/4, \sqrt{7/8})$ que son los máximos correctos. Si introduzco la ecuación sistema en Wolfram Alpha Obtengo dos soluciones más, que entiendo son los mínimos. ¿Cómo obtengo estas otras dos soluciones? Probablemente me estoy perdiendo algún caso extremo, pero no estoy seguro de qué otra manera de resolver el sistema de ecuaciones.

Answer 1

Cuando estés haciendo $$2\lambda = - 2y / y = -2$$ Has perdido la solución potencial $y=0$ . Eso te daría otra respuesta.

Cuando hagas problemas con multiplicadores de Lagrange, ten cuidado con todos los casos, especialmente cuando multipliques o dividas por una variable.