Su explicación es parcialmente correcta.
Existen $\binom{8}{3} = 56$ formas de seleccionar tres de los ocho colores. Puesto que hay $60$ cajas, esto significa que debe haber al menos dos cajas que contengan la misma combinación de tres colores.
Sin embargo, no podemos concluir que haya cuatro cajas que contengan la misma combinación de colores, como usted parece afirmar. Crostul le ha proporcionado un ejemplo en los comentarios. Un caso extremo es $60$ cajas contienen los mismos tres colores. El otro extremo es que todas $56$ combinaciones de colores, cuatro de las cuales se utilizan dos veces. ¿Es eso lo que quería decir?
Para garantizar que hay al menos tres cajas que contienen bolas con la misma combinación de tres colores, requeriríamos que hubiera al menos $2 \cdot 56 + 1 = 112 + 1 = 113$ cajas. Si sólo tuviéramos $112$ cajas, podríamos usar cada combinación de colores exactamente dos veces.
En forma fuerte del principio de encasillamiento establece que si $k$ los objetos deben colocarse en $n$ cajas, entonces el número de cajas que deben contener el mismo número de objetos es $$\left\lceil \frac{k}{n} \right\rceil$$ donde $\lceil x \rceil$ es el menor número entero mayor o igual que $x$ . En nuestro caso, $k = 60$ y $n = \binom{8}{3} = 56$ por lo que tenemos garantizado como máximo $$\left\lceil \frac{60}{56} \right\rceil = 2$$ cajas que contengan la misma combinación de tres colores.
