Las definiciones de operadores y relaciones son importantes en matemáticas, pero ¿podrían algunas definiciones ser incoherentes y dar lugar a una contradicción sintáctica o semántica? En caso afirmativo, ¿hay algún ejemplo de relaciones y operadores que lleven a una contradicción por estar mal definidos?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
ManuelSchneid3r
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Si somos descuidados a la hora de hacer definiciones, podemos encontrarnos con problemas; pero estos problemas surgen cuando nuestras "definiciones" hacen implícitamente afirmaciones matemáticas que son injustificadas o incluso falsas.
Veamos el caso de la definición de un objeto concreto, por ejemplo, una función. Cuando decimos algo como
"Definimos foo sea la función que blahs ,"
en realidad estamos diciendo lo siguiente:
"Hay una única función que blahs a esto lo llamamos " foo .""
La segunda parte de esta afirmación no plantea ningún problema: sólo estamos dando un nombre a algo. En realidad, sólo estamos introduciendo una abreviatura. Es la primera parte que es una fuente potencial de problemas. Estamos haciendo dos reclamaciones:
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Existencia : Allí es algo función que blahs .
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Singularidad : Allí no hay dos funciones que bla .
Cualquiera de estas afirmaciones podría ser incorrecta. Una definición debe ir precedida de pruebas de existencia y unicidad. Estas pruebas suelen ser triviales y, por tanto, se omiten, pero son importantes.
Bien, veamos algunos ejemplos de malas definiciones de objetos.
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"El conjunto de todas las cosas que no están en este conjunto". Aquí tenemos la afirmación implícita $$\mbox{"There is a unique set $ S $ such that for all $ x $, $ x\in S\iff x\not\in S $."}$$ En existencia parte de esta afirmación es claramente falsa, por lo que ni siquiera necesitamos hablar de la unicidad parte. _(Tenga en cuenta que esto es diferente de, y más tonto que, La paradoja de Russell .)_
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"La función que envía un número real $r$ hasta su séptimo dígito decimal". Este es un ejemplo interesante, ya que hay una afirmación implícita de "profundidad-dos": ¡que "su séptimo dígito decimal" tiene sentido! Esto se corresponde con el hecho de que nuestra definición utiliza una frase que necesita definición, a saber, "su séptimo dígito decimal", por lo que antes incluso de empezar a hablar de la función completa tenemos que pensar en los decimales. La afirmación implícita "en profundidad" es $$\mbox{"Every real number has a unique seventh decimal digit."}$$ En existencia parte de esto es cierto, ya que cada número real tiene una expansión decimal, pero la unicidad falla porque algunos números reales tienen varias expansiones decimales: ¿es la séptima cifra decimal de $1$ el dígito $0$ o la cifra $9$ ? Por supuesto, podríamos solucionarlo especificando que "la expansión decimal" no permite los unos con nueves al final, pero como está escrito esto es problemático.
Por otra parte, he aquí un buen ejemplo de definición circular pero es perfectamente válido :
- "El conjunto de todos los objetos que están en este conjunto si y sólo si no están en este conjunto".
Aquí reclamo $$\mbox{"There is a unique set $ S $ such that for all $ x $, $ x\in S $ if and only if $ (x\in S\iff x\not\in S) $."}$$ Es un buen ejercicio comprobar que $(i)$ el conjunto vacío tiene esta propiedad, y $(ii)$ ningún otro conjunto tiene esta propiedad. Así que la autorreferencialidad sí no conducen inmediatamente a la nulidad. Sin embargo, psicológicamente nos resulta más fácil ver y sospechar de la pretensión de existencia única implícita en una definición autorreferencial que en una definición general.
