Encontrar valores tales que una matriz tenga una solución única

Question

Tengo una matriz en la que debo encontrar los valores de a y b para que la matriz tenga solución única. He mirado a través de mi libro de texto y no hay ningún ejemplo de cómo hacer esto.

$$ \left[ \begin{array}{@{}ccc|c@{}} 3&-1&2 & 1 \\ 0& \frac{5}{3}& \frac{14}{3} & \frac{10}{3} \\ 0&0& a-6 & b-4 \\ \end{array} \right] $$

¿Cómo podría resolver este problema? Gracias.

Answer 1

Un sistema de ecuaciones representado por una matriz de coeficientes $A$ tiene solución única si su determinante NO ES IGUAL a $0$ : si $\det A \neq 0$ .

Tenga en cuenta que su matriz, a continuación, es un matriz triangular superior . El determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus entradas diagonales:

$$\det A = \det \begin{bmatrix} 3 & -1 &2 \\ 0 & \small\frac53 & \small\frac{14}{3} \\ 0 & 0 & a-6 \\ \end{bmatrix} = 3 \cdot \frac53 \cdot (a - 6)\;=\;5(a-6)$$

$$\det A = 0 \iff a = 6$$

Por lo tanto, existe un solución única al sistema de ecuaciones representado por la matriz de coeficientes aumentada si y sólo si $\;\;\bf{a\neq 0}$ :

$$A' = \left[ \begin{array}{@{}ccc|c@{}} 3&-1&2 & 1 \\ 0& \small\frac{5}{3}& \small\frac{14}{3} & \small\frac{10}{3} \\ 0&0& a-6 & b-4 \\ \end{array} \right] $$

Ahora podemos expresar $x_3$ en función de $a$ y $b$ para $a\neq 6:$ La solución, en este caso, a $x_3$ viene dada por $x_3 = \large\frac{b-4}{a-6},\;$ proporcionado $a \neq 6$ . Resulta que el valor exacto de $b$ es irrelevante para la unicidad de una solución ( $b$ puede tomar cualquier valor):

Por tanto, existe una solución única al sistema de ecuaciones dado por la matriz de coeficientes aumentada si y sólo si $$a\in (-\infty, 6)\cup (6, \infty)$$