Transferencia de la estructura de un espacio vectorial mediante un mapa suryectivo

Question

Sea $V$ ser un $K$ -y que $W$ sea un conjunto. Sea además $+ : W \times W \to W , \cdot : K \times W \to W$ sean mapas, y que $ A : V \to W$ sea un mapa suryectivo, tal que $$ \forall x ,y \in V \forall \lambda \in K : A(\lambda x + y) = \lambda A(x) + A(y). $$

Se me pide que demuestre que esto induce una $K$ -estructura de espacio vectorial en $W$ .

Sin embargo, no puedo demostrar ninguna de las siguientes afirmaciones equivalentes $$ \begin{align*} (1) &\text{ } A(0) \text{ is right-neutral}, \\ (2)&\text{ } 1\cdot w = w \text{ for any }w \in W. \end{align*} $$

Ahora no estoy seguro de que la afirmación sea cierta (sin asumir (1) o (2)), pero tampoco puedo encontrar un ejemplo contrario. Por tanto, mi pregunta es: ¿es cierta la afirmación?

Answer 1

Para $1)$ Sea $w = A(v)$ lo que podemos hacer ya que $A$ es suryectiva. $w + A(0) = A(v) + A(0) = A(v+0) = A(v) = w$ Así que $A(0)$ es neutral a la derecha

Para $2)$ deje $w = A(v)$ lo que podemos hacer ya que A es suryectiva. Entonces $1\cdot w = 1\cdot A(v) = A(1\cdot v) = A(v) = w$ según sea necesario.

Editar: De acuerdo. Actualmente, creo que es posible que no obtengamos necesariamente una estructura de espacio vectorial de la definición anterior sin al menos algunas demandas estructurales adicionales en + y $\cdot$ sobre W. Sin embargo, el reproche adecuado vendría en forma de una estructura de contraejemplo... lo cual es mucho pedir.