En el cálculo monovariable existen las técnicas de áreas transversales, volumen por corte y volúmenes de sólidos de revolución (discos, arandelas, conchas). ¿Son estos casos especiales de algunos conceptos de las integrales dobles y/o triples o son sólo trucos prácticos que se pueden hacer con las integrales de una variable? Si es posible, se agradecería una referencia. ¡Gracias!
Respuesta
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Todos estos son ejemplos de cálculo de una integral de volumen descomponiéndola en integrales de orden inferior mediante una foliación de la región por superficies. Cuando estas superficies y la función que se está integrando tienen las simetrías adecuadas, las integrales dobles se calculan fácilmente, con lo que se obtienen las fórmulas integrales simples. Es más fácil si describimos dicha foliación mediante los conjuntos de niveles de una función $r$ - algunos ejemplos:
- $r(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2}$ da los cilindros alrededor del $z$ eje para el "método de la cáscara";
- $r(x,y,z) = z$ da los cortes horizontales;
- $r(x,y,z) = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ da las esferas concéntricas.
En su forma más general, esta técnica es posible gracias a la llamada fórmula de co-área (que en el caso suave procede de la fórmula de cambio de variables y del teorema de Fubini):
Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ con una función de Lipshitz $r:\Omega \to \mathbb{R}$ y que $\Sigma_t$ sea el conjunto de niveles $\{ x \in \Omega : r(x) = t \}$ . Entonces para cualquier función integrable $f$ en $\Omega$ tenemos $$\int_\Omega f |\nabla r| dV = \int_{-\infty}^\infty \int_{\Sigma_t} f dS dt.$$
Aquí $dV$ es la medida de Lebesgue (volumen) y $dS$ es el $n-1$ medida de Hausdorff dimensional (superficie en el caso $n=3$ ).
Cuando la foliación es lisa ( $|\nabla r| \ne 0$ ) y tomamos $f=1$ se obtiene la fórmula del volumen:
$$ \int_\Omega dV = \int_{-\infty}^\infty \int_{\Sigma_t} \frac{1}{|\nabla r|}dS dt,$$
Si ha elegido una buena foliación con $|\nabla r|$ constante en cada conjunto de niveles, entonces esto se reduce a una única integral de una expresión que implica el área de los conjuntos de niveles. De hecho, los tres ejemplos anteriores tienen $|\nabla r|=1$ en todas partes; así se obtiene la fórmula fácil $\mathrm{Vol(\Omega)} = \int \mathrm{Area}(\Sigma_t) dt$ .
