Cortes de rama y analiticidad para $\sqrt {G(z)}$ , $z \in \mathbb{C}$

Question

Para la función compleja $f(z)=\sqrt{z}$ , $z \in \mathbb{C}$ sabemos que $z=0$ y $z=\infty$ son puntos de bifurcación, y podemos elegir la recta real negativa para que sea nuestro corte de bifurcación, para $-\pi < \theta \leq \pi$ . Es decir, la rama cortada es el conjunto $\lbrace z : \Re ({z}) \leq 0, \Im ({z})=0 \rbrace$ . Si elegimos una rama específica, entonces $f(z)=\sqrt{z}$ es analítica en esa rama, excepto en la rama cortada.

¿Qué pasa con $f(z)=\sqrt{G(z)}$ donde $G(z)$ ¿es un polinomio? Sé que establecer $G(z)=0$ nos dará los puntos de bifurcación, pero para determinar el dominio de analiticidad (que incluye los cortes de bifurcación) para $f(z)=\sqrt{G(z)}$ ¿tenemos que resolver también $\Re ({G(z)}) \leq 0$ y $\Im({G(z)})=0$ ?

Answer 1

Elimina las raíces dobles de G eligiendo una raíz cuadrada fija de un cuadrado. Suponiendo ahora que G sólo tiene raíces simples tenemos 2 casos;

deg(G) par, 2n: el infinito no es un punto de bifurcación y agrupando las raíces por pares (de la forma que se quiera) y uniendo cada par por una curva simple, sin que se crucen tales 2, se obtiene un dominio de analiticidad al excluir las n curvas (se pueden tomar segmentos para los pares apropiados)

deg(G) impar, 2n+1, entonces el infinito es un punto de ramificación y ahora tienes n+1 pares con las raíces y el infinito; se aplica la misma construcción excepto que ahora una curva será ilimitada y de nuevo puedes tomar n segmentos y un rayo para elecciones apropiadas de los pares

Lo mismo se aplica para raíces enésimas de polinomios, pero ahora todo se hace mod n, por lo que es más complicado