Así que estoy atascado con este problema.
Deje $A$ ser distinto de cero anillo conmutativo (con la unidad). Tengo varias preguntas que están muy cerca uno del otro.
1) Vamos a $M$ ser un finitely módulo generado más de $A$. Podemos tener $\{x_n, n \in \mathbb{N}\} \subset M$ lineal independiente de la familia en $M$ ?
2) Deje $M$ ser un módulo sobre $A$ generado por $f_1, \ldots, f_n \in M$. Podemos tener $x_1,\ldots, x_{n+1} \in M$ lineal independiente de la familia ? (Obviamente, una respuesta negativa a que el segundo implica una respuesta negativa a la primera.)
3) Deje $N$ ser un módulo sobre $A$, e $M$ un módulo que existe una secuencia exacta $0 \to N \to M$ y otro de la secuencia exacta $N \to M \to 0$. Es $M$ un módulo (es $M \simeq N$)? Si no, podemos agregar $N$ finito de rango para conseguir una respuesta positiva ?
4) Deje $M$ ser finitely generado por $f_1, \ldots, f_n$, e $x_1, \ldots, x_n$ ser lineal independiente de la familia en $M$. Es $M$ libre?
Gracias por su ayuda!
