Hay una clase de observables en QFT (formas de sucesos, densidad de partones parton, amplitudes de distribución del cono de luz) cuya evolución del grupo de renormalización (RG) adopta la forma de una ecuación integro-diferencial: $$ \mu\partial_{\mu}f\left( x,\mu\right) =\int\mathrm{d}x^{\prime}\gamma\left( x,x^{\prime},\mu\right) f\left( x^{\prime},\mu\right) . $$ Es bien sabido que para este tipo de ecuaciones hay que distinguir cuidadosamente entre bien planteado y mal planteado problemas. Un ejemplo clásico de problema mal planteado es la ecuación de calor hacia atrás: \begin{align*} \partial_{t}u & =\kappa\partial_{x}^{2}u,\qquad x\in\left[ 0,1\right] ,\qquad t\in\left[ 0,T\right] ,\\ u\left( x,T\right) & =f\left( x\right) ,\qquad u\left( 0,t\right) =u\left( l,t\right) =0, \end{align*} mientras que la evolución hacia delante (es decir, el problema de valor inicial-límite $u\left( x,0\right) =f\left( x\right) $ ) está bien planteada. El hecho de que evolución hacia atrás esté mal planteada (la solución o no existe o no depende continuamente de los datos iniciales) modela la irreversibilidad temporal en en el sentido de las leyes de la termodinámica.
Dado que la transformación de renormalización corresponde a la integración de los modos de campo de longitud de onda corta, las transformaciones RG tienen pérdidas y, por tanto, forman un semigrupo. Mi pregunta es - si existe un ejemplo explícito (o una demostración) de un problema mal planteado para la evolución RG? Es decir, la evolución RG cuyas soluciones (del problema de valor inicial-límite) tienen alguna propiedades patológicas como la inestabilidad bajo una pequeña perturbación de la inicial datos iniciales, por lo que una solución numérica o bien no sensible o que requieren para incorporar información previa (como Regularización de Tikhonov ).
Actualización. En realidad, tengo dos razones para preocuparme por estos problemas mal planteados.
La primera: el procedimiento estándar de utilizar las funciones de densidad de protones en los colisionadores consiste en parametrizar estas funciones para alguna escala de normalización $\mu\sim\Lambda_{QCD}$ y, a continuación, utilice DGLAP ecuaciones a evolucionar las distribuciones a la escala dura del proceso $Q\gg\mu$ . La dirección dirección de dicha evolución es opuesta al procedimiento "normal" de RG (desde la escala de resolución pequeña $Q^{-1}$ al grande $\mu^{-1}$ ). Por lo tanto, sospecho que dicho procedimiento está (estrictamente hablando) mal planteado.
El segundo: los observables/distribuciones mencionados anteriormente son elementos matriciales de algunos operadores no locales. Utilizando las ampliación de productos para operadores (OPE), una puede reducir la correspondiente ecuación integrodiferencial a un conjunto de ecuación diferencial ordinaria para las constantes de renormalización de los operadores locales. Mi intuición me dice que en este caso la evolución RG para la distribución estará bien planteada al menos en una dirección RG (por lo tanto creo que las ecuaciones ecuaciones DGLAP están bien planteadas para la dirección de evolución $Q\rightarrow\mu$ ). Por lo tanto, aparece una evolución completa de RG mal planteada cuando falla la OPE.
