¿La "estadística de prueba" es un valor o una variable aleatoria?

Question

Ahora soy estudiante y estoy haciendo mi primer curso de Estadística. Me confunde el término "estadístico de prueba".

En el siguiente (vi esto en algunos libros de texto), $t$ parece ser un valor específico calculado a partir de una muestra específica. $$ t=\frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $$

Sin embargo, en el siguiente (vi esto en algunos otros libros de texto), $T$ parece ser una variable aleatoria. $$ T=\frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} $$

Entonces, ¿el término "estadística de prueba" significa un valor específico o una variable aleatoria, o ambos ?

Answer 1

La respuesta corta es "sí".

La tradición en la notación es utilizar una letra mayúscula (T en el ejemplo anterior) para representar una variable aleatoria, y una letra minúscula (t) para representar un valor específico calculado u observado de esa variable aleatoria.

T es una variable aleatoria porque representa los resultados del cálculo de una muestra elegida al azar. Una vez que se toma la muestra (y se acaba la aleatoriedad), entonces se puede calcular t, el valor específico, y sacar conclusiones basadas en cómo se compara t con la distribución de T.

Así pues, la estadística de prueba es una variable aleatoria si pensamos en todos los valores que podría tomar en función de todas las muestras diferentes que podríamos recoger. Pero una vez que recogemos una sola muestra, calculamos un valor específico del estadístico de prueba.

Answer 2

Un estadístico de prueba es un estadístico utilizado para tomar una decisión sobre la hipótesis nula.

Una estadística es un valor realizado (por ejemplo, t): Una estadística es un valor numérico que indica algo sobre una muestra. Dado que los estadísticos se utilizan para estimar el valor de un parámetro de la población, son en sí mismos valores. Como las muestras (lo suficientemente largas) son diferentes todo el tiempo, los estadísticos (las afirmaciones numéricas sobre las muestras) diferirán. La distribución de probabilidad de una estadística obtenida mediante un gran número de muestras extraídas de una población específica se denomina distribución muestral, es decir, distribución de esa estadística, considerada como una variable aleatoria.

Una estadística es una variable aleatoria (por ejemplo, T): Una estadística es cualquier función de los datos (sin cambios de una muestra a otra). Los datos se describen mediante variables aleatorias (de una dimensión adecuada). Como cualquier función de una variable aleatoria es en sí misma una variable aleatoria, una estadística es una variable aleatoria.

Casi siempre queda claro por el contexto qué significado se pretende, especialmente cuando se respeta la convención de mayúsculas/minúsculas.

Answer 3

Una estadística de prueba es una observación específica de los datos observados que sigue una distribución de probabilidad bajo un supuesto determinado. Este supuesto suele denominarse $H_0$ .

Por ejemplo, en su muestra, el estadístico de prueba (denominado estadístico t) depende de los datos observados ( $\bar{x}$ y $s$ se derivan ambos de los datos).

En el supuesto de que su media sea $\mu_0$ la estadística calculada seguirá una distribución determinada. A continuación, se determina la probabilidad de que se produzca este valor de la estadística según la hipótesis. Si se considera que ese valor es bajo, la hipótesis ( $H_0$ ) es rechazada.

Si rechazamos la $H_0$ suposición, esto no significa que la suposición que hayamos hecho tenga la garantía de no ser cierta. Si era cierta y la rechazamos debido a la baja probabilidad del estadístico de prueba bajo $H_0$ lo llamamos error de tipo I .

Por otro lado, si aceptamos la suposición, esto no significa que nuestra suposición sea cierta. Si la suposición era falsa y la aceptamos porque tenía una probabilidad suficientemente alta bajo nuestra suposición errónea, esto se llama error de tipo II .

La estadística es un valor concreto y sólo si aceptamos determinadas hipótesis como dadas podemos suponer que sigue una distribución de probabilidad concreta.

Este principio es válido para todos los estadísticos de prueba, no sólo para el estadístico t que usted menciona aquí.