¿Es "estadístico de prueba" un valor o una variable aleatoria?

Question

Soy un estudiante que está tomando mi primer curso de Estadística ahora. Estoy confundido por el término "estadístico de prueba".

En lo siguiente (vi esto en algunos libros de texto), $t$ parece ser un valor específico calculado a partir de una muestra específica. $$ t=\frac{\overline{x} - \mu_0}{s / \sqrt{n}} $$

Sin embargo, en lo siguiente (vi esto en algunos otros libros de texto), $T$ parece ser una variable aleatoria. $$ T=\frac{\overline{X} - \mu_0}{S / \sqrt{n}} $$

Entonces, ¿significa el término "estadístico de prueba" un valor específico o una variable aleatoria, o ambos?

Answer 1

La respuesta corta es "sí".

La tradición en la notación es usar una letra mayúscula (T en el ejemplo anterior) para representar una variable aleatoria, y una letra minúscula (t) para representar un valor específico calculado u observado de esa variable aleatoria.

T es una variable aleatoria porque representa los resultados de calcular a partir de una muestra elegida al azar. Una vez que tomas la muestra (y se acaba la aleatoriedad) entonces puedes calcular t, el valor específico, y sacar conclusiones basadas en cómo t se compara con la distribución de T.

Entonces, la estadística de prueba es una variable aleatoria cuando pensamos en todos los valores que podría tomar basados en todas las diferentes muestras que podríamos recopilar. Pero una vez que recopilamos una sola muestra, calculamos un valor específico de la estadística de prueba.

Answer 2

Un estadístico de prueba es un estadístico utilizado para tomar una decisión sobre la hipótesis nula.

Un estadístico es un valor realizado (por ejemplo, t): Un estadístico es un valor numérico que indica algo sobre una muestra. Dado que los estadísticos se utilizan para estimar el valor de un parámetro de la población, ellos mismos son valores. Debido a que las muestras (lo suficientemente largas) son diferentes todo el tiempo, los estadísticos (las afirmaciones numéricas sobre las muestras) serán diferentes. Una distribución de probabilidad de un estadístico obtenido a través de un gran número de muestras tomadas de una población específica se llama su distribución muestral --- una distribución de ese estadístico, considerado como una variable aleatoria.

Un estadístico es una variable aleatoria (por ejemplo, T): Un estadístico es cualquier función de los datos (invariable de muestra a muestra). Los datos están descritos por variables aleatorias (de alguna dimensión adecuada). Dado que cualquier función de una variable aleatoria es en sí misma una variable aleatoria, un estadístico es una variable aleatoria.

Casi siempre es claro a partir del contexto cuál es el significado pretendido, especialmente cuando se observa la convención de mayúsculas/minúsculas.

Answer 3

Una estadística de prueba es una observación específica de tus datos observados que sigue una distribución de probabilidad bajo una suposición dada. Esta suposición suele llamarse $H_0$.

Por ejemplo, en tu muestra la estadística de prueba (llamada estadístico t) depende de los datos observados ($\bar{x}$ y $s$ se derivan ambos de los datos).

Bajo la suposición de que la media es $\mu_0$, la estadística que calculaste seguirá una cierta distribución. La probabilidad de que ocurra este valor de la estadística se determina entonces bajo la suposición. Si ese valor se considera bajo, se rechaza la suposición ($H_0$).

Si rechazamos la suposición $H_0$, esto no significa que la suposición que hicimos esté garantizada de ser falsa. Si era cierta y la rechazamos debido a la baja probabilidad de la estadística de prueba bajo $H_0$, lo llamamos un error tipo I.

Por otro lado, si aceptamos la suposición, esto no significa que nuestra suposición haya sido verdadera. Si la suposición era falsa y la aceptamos porque tenía una probabilidad lo suficientemente alta bajo nuestra suposición incorrecta, esto se llama error tipo II.

La estadística es un valor específico y solo si aceptamos ciertas suposiciones como dadas podemos asumir que sigue una distribución de probabilidad específica.

Este principio se aplica a todas las estadísticas de prueba, no solo al estadístico t mencionado aquí.