Aplicación de la regla de la cadena

Question

Las ecuaciones $u=f(x,y),x=X(t),y=Y(t)$ defina $u$ en función de $t$ , digamos $u=F(t)$ .

Compute $F'(t)$ en términos de $t$ si, $$f(x,y)=\log [(1+e^{x^2})/(1+e^{y^2})] , X(t)=e , Y(t)^t=e^{-t}.$$

Por la regla de la cadena tenemos - $$F'(t) = \frac{\partial f}{\partial x}X'(t)+\frac{\partial f}{\partial y}Y'(t).$$

Desde $X(t)$ y $Y(t)$ son constantes aquí e iguales respectivamente a $e$ y $e^{-1}$ ¿no significa esto que $F'(t)=0$ ?

Answer 1

Desde $x=X(t)=e,y=Y(t)=e^{-1}$ son constantes, $f(x,y)=u$ también es una constante, es decir, $F(t):=u=f(x,y)$ también es una constante. Por lo tanto, $F^\prime(t)=0$ .

Answer 2

Si $X$ y $Y$ son constantes con respecto a $t$ entonces también lo es $F$ . En $t$ cambios, $X$ y $Y$ no cambian, y por lo tanto $f(X,Y)$ tampoco cambia.