Sea $\phi$ sea una función en el espacio de Schwartz $\mathscr S(\mathbb R)$ que también es analítica en la recta real y tal que el radio de convergencia en la recta real está acotado por debajo de $\rho>0$ . Entonces, con $\hat \phi(\xi)=\int e^{-2i x\xi}\phi(x) dx$ ¿tenemos $$ \vert\hat \phi(\xi)\vert\le C e^{-2\rho \vert\xi\vert}\quad? $$ ¿Es cierto para $\phi$ analítica real en $\mathbb R$ que resulta ser una distribución templada? ¿Existe la inversa?
Respuesta
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user1952009
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Necesitas que $\phi$ es analítica en $|\Im(z)|\le r$ ,
$L^1$ en líneas horizontales y $\lim_{|x|\to \infty}\sup_{|y|\le r} |\phi(x+iy)|=0$ para obtener a partir del teorema de la integral de Cauchy que $$\int_{-\infty}^\infty e^{2i\pi (x+iy)\xi} \phi(x+iy)dx$$ converge y no depende de $|y|\le r$ para que $$|\hat{\phi}(\xi)| \le (\|\phi(.+ir)\|_{L^1}+\|\phi(.-ir)\|_{L^1}) e^{-2\pi r |\xi|}$$
Por el contrario, si ambos $\hat{\phi},\hat{\phi}'$ son $O(e^{-2\pi r|\xi|})$ entonces $\phi$ cumple las condiciones anteriores para $|\Im(z)|\le r-\epsilon$ .
Prueba con $\phi(x)=e^{-e^{x^2}}$ que no tiene límites en las líneas horizontales distintas del eje real, si $\hat{\phi}$ fue $O(e^{-4\pi |\xi|})$ tendríamos que $\|\phi(.+i)\|_{\infty}\le \|\hat{\phi}e^{2\pi \xi}\|_{L^1}<\infty$ .
