Todos los ultrafiltros libres comparten ciertas propiedades importantes. En muchas aplicaciones de los ultrafiltros, sobre todo en las más elementales, sólo se utilizan estas propiedades. En tal situación, no importa qué ultrafiltro libre se elija: cualquiera servirá.
Pero hay algunas pruebas que requieren (o parecen requerir) tipos especiales de ultrafiltros.
Un ejemplo importante, mencionado en los comentarios de Benjamin Steinberg, son los ultrafiltros algebraicamente especiales, como los ultrafiltros idempotentes utilizados para demostrar el Teorema de Hindman, o los idempotentes mínimos utilizados en la demostración con ultrafiltros del Teorema de Hales-Jewett. Estos ultrafiltros son "algebraicamente especiales" en el sentido de que tienen propiedades especiales definidas utilizando la estructura algebraica y topológica $(\beta \mathbb N,+)$ . Sin embargo, si no queremos ver toda esta estructura extra en $\beta \mathbb N$ un ultrafiltro idempotente puede no ser muy diferente de cualquier otro. De hecho, todo idempotente es equivalente a muchos no idempotentes (en el sentido de ser isomorfo a ellos, como describes en tu primer párrafo).
Otro tipo especial de ultrafiltro es un $P$ -punto. Son definibles en el espacio topológico $\beta \mathbb N$ sin considerar ninguna otra estructura dinámica o algebraica, y un $P$ -no puede ser isomorfo a un punto no $P$ -punto. Una caracterización importante de $P$ -puntos es: un ultrafiltro $\mathcal U$ es un $P$ -si y sólo si para cualquier secuencia $\langle x_n \rangle$ de números reales, $r = \mathcal U$ - $\lim x_n$ si y sólo si existe una subsecuencia de $\langle x_{n_k} \rangle$ convergiendo hacia $r$ con $\{n_k :\, k \in \mathbb N\} \in \mathcal U$ . He visto esta propiedad de $P$ -puntos utilizados anteriormente en las pruebas, aunque no me viene a la mente ningún ejemplo especialmente famoso. Recuerdo un teorema mío, en un artículo con Piotr Oprocha, en el que tenemos que tomar $\mathcal U$ -límites que sí no tienen esta propiedad. Así que esta es una aplicación de ultrafiltros donde es importante utilizar un no - $P$ -punto.
Desde el punto de vista de la teoría del orden, los ultrafiltros de Ramsey son bastante especiales. Se puede escribir una breve demostración del Teorema de Ramsey (la versión infinitaria) utilizando un ultrafiltro de Ramsey. (Me gusta esta demostración con fines pedagógicos, y se la he dado a estudiantes de posgrado en el pasado, ya que es muy paralela a la demostración de que los cardinales medibles son Ramsey).
Así que algunas aplicaciones de los ultrafiltros utilizan realmente ultrafiltros especiales. Para responder a algunas de sus otras preguntas:
Es un teorema de ZFC, no sólo un resultado de consistencia, que existen ultrafiltros RK-incomparables. Esto se debe a Kunen y Frolik.
También es un teorema de ZFC que la acción de homeomorfismos sobre $\beta \mathbb N \setminus \mathbb N$ no es transitivo. De hecho, Kunen demostró (sólo a partir de ZFC) que $\beta \mathbb N \setminus \mathbb N$ contiene débil $P$ -señala . Se definen como puntos de $\beta \mathbb N \setminus \mathbb N$ que no estén contenidas en el cierre de ningún subconjunto contable de $\beta \mathbb N \setminus \mathbb N$ que no contenga ya el punto. No es muy difícil darse cuenta de ello, porque $\beta \mathbb N \setminus \mathbb N$ es compacto, no todos los puntos tienen esta propiedad. Y ningún autohomeomorfismo de $\beta \mathbb N \setminus \mathbb N$ puede asignar un $P$ -en un punto no débil $P$ -punto.
Por último, ¿existe algún sentido significativo en el que todos los ultrafiltros libres sean iguales? Tal vez. Es una cuestión abierta si todos los ultrafiltros libres pueden tener (sistemáticamente) el mismo Tipo Tukey . A grandes rasgos, existe un medio de comparar órdenes parciales mediante mapas llamados reducciones de Tukey, mucho más toscos que la noción de isomorfismo descrita en tu post. Por supuesto, basta con que -tal vez- todos los ultrafiltros se comparen con todos los demás. Pero esto no es sistemáticamente el caso. Por ejemplo, un $P$ -nunca es equivalente en Tukey a un punto no $P$ -punto.
