Se ha trabajado mucho en lógica intuicionista donde eliminamos de la lógica clásica la ley del medio excluido: $\vdash P \lor \lnot P$ . Sin embargo, ¿qué pasaría si en su lugar elimináramos la ley de no contradicción: $\vdash \lnot (P \land \lnot P)$ ? En esta lógica, sería posible que una proposición fuera ambos verdadero y falso. También podría considerarse una lógica trivalente con tres valores de verdad: $\mathsf{T}$ , $\mathsf{F}$ y $\mathsf{TF}$ .
Parece entonces que la paradoja de Russell, por ejemplo, ya no es una paradoja. Si construimos $S = \{ x : x \notin x \}$ en la teoría ingenua de conjuntos, y preguntar si $S \in S$ no hay contradicción, sino una prueba de que $S \in S$ es tanto verdadero como falso (tiene valor de verdad $\mathsf{TF}$ ). Dado que la mayoría de las paradojas se construyen de la misma manera, ¿tal lógica contradictoria ser inmune a las paradojas? ¿Siguen surgiendo paradojas?
Edita: Si modificamos la paradoja de Russell a $$\begin{align*} S\ &=\ \big\{ x: x \notin x \text{ and } \lnot (x \in x \text{ and } x \notin x) \big\} \\ &=\ \{ x: \operatorname{TV}(x \in x) = \mathsf{F} \text{ and } \operatorname{TV}(x \in x) \neq \mathsf{TF} \} \end{align*}$$ donde $\operatorname{TV}(\varphi)$ denota el valor de verdad de $\varphi$ ¿nos encontramos ahora con una contradicción?
