Aunque abundan los contraejemplos, intentaré explicar aquí por qué, sin embargo, para más triangular $L$ , cualquier solución a $X^2=L$ será igualmente triangular, e investigar las propiedades de $L$ (sustituyendo la de tener una entrada no nula por debajo de la diagonal) que lo garantice. Las observaciones clave son
- Triangularidad inferior de $A$ significa que los subespacios $\langle e_i,\ldots,e_n\rangle$ para $i=1,\ldots,n$ son $A$ -estable,
- Cualquier solución $X$ de $X^2=L$ se desplazará con $L$ ,
- Por lo tanto, el núcleo de cualquier polinomio $P_L$ en $L$ será $X$ -estable.
(Para el último punto, si $P_L(v)=0$ entonces $P_L(X(v))=X(P_L(v))=0$ .)
Ahora los subespacios $\langle e_i,\ldots,e_n\rangle$ son $L$ -estable si $L$ es triangular, pero no es necesario que sean núcleos de polinomios en $L$ Sin embargo, si todos los granos son de este tipo, entonces todos serán $X$ -estable para cualquier solución $X$ por el último punto, y $X$ tendrá que ser triangular inferior. Para ello basta con que los coeficientes diagonales $a_{1,1},\ldots,a_{n,n}$ de $L$ son todos distintos. Porque en ese caso $ \langle e_i,\ldots,e_n\rangle$ es precisamente $\ker((L-a_{i,i}Id)\circ\cdots\circ(L-a_{n,n}Id))$ como se puede comprobar fácilmente. La razón por la que este argumento falla cuando algunos $a_{j,j}=a_{k,k}$ con $j<k$ es que el eigespacio para este $a_{j,j}$ puede ser de dimensión ${}>1$ en cuyo caso el núcleo de cualquier polinomio en $L$ que contiene un factor $L-a_{j,j}$ matará no sólo a $e_k$ pero también $e_j$ por lo que no hay forma de que el polinomio tenga exactamente $ \langle e_k,\ldots,e_n\rangle$ como núcleo.
De hecho, una condición aún más débil en $L$ se puede dar que obliga a $X$ sea triangular: si el polinomio mínimo de $L$ es igual a su polinomio característico $(X-a_{1,1})\ldots(X-a_{n,n})$ entonces los núcleos del $n$ polinomio $\ker((L-a_{i,i}Id)\circ\cdots\circ(L-a_{n,n}Id))$ son todos distinto y, por tanto, necesariamente igual a $ \langle e_i,\ldots,e_n\rangle$ respectivamente. Otro argumento para este caso es que el aquí el sólo matrices que conmutan con $L$ son polinomios en $L$ y por lo tanto triangular; esto se aplica en particular a $X$ . La condición sobre el polinomio mínimo puede verse como equivalente a todos los eigenspaces de $L$ con una dimensión $1$ .
Creo que esto, condición suficiente para $L$ para forzar $X$ para ser triangular también es necesario, en otras palabras, una vez que hay un eigespacio de dimensión ${}>1$ esto se puede explicar para construir una solución $X$ que no es triangular. He aquí un ejemplo de ello. Supongamos que queremos $L$ para tener un doble valor propio $1$ y un único valor propio $4$ (lo que facilita la obtención de raíces cuadradas). Ayudará a hacer las entradas $1$ en la diagonal no adyacente, así que toma $L$ de la forma $$ L=\begin{pmatrix}1&0&0\\x&4&0\\y&z&1\end{pmatrix} $$ Ahora necesitamos $L$ para tener un espacio eigénico para $1$ de dimensión $2$ (es decir, que sea diagonalizable), y así $L-I_3$ debe tener rango $1$ que aquí significa $xz-3y=0$ . Tomemos $x=y=z=3$ para tener esto. Esto nos lleva también a un segundo eigenvector fácil $e_1-e_2$ además del inevitable vector propio $e_3$ en $\lambda=1$ . Informática $L-4I_3$ muestra que para estos valores $e_2+e_3$ es el vector propio en $\lambda=4$ . Ahora resulta que podemos elegir una matriz $P$ con los vectores propios como columnas (que usaremos para el cambio de base) para que sea a su vez triangular inferior; esto no es relevante, pero es divertido y ayuda a encontrar su inversa: $$ P=\begin{pmatrix}1&0&0\\-1&1&0\\0&1&1\end{pmatrix} \quad\text{for which}\quad P^{-1}=\begin{pmatrix}1&0&0\\1&1&0\\-1&-1&1\end{pmatrix}. $$ Lo más importante es decidir qué $X$ lo hace con el eigespacio de $L$ para $\lambda=1$ . Como mapa lineal $X$ debe estabilizar este eigespacio globalmente, y su restricción a este subespacio debe ser cuadrada a la identidad (debe ser una involución); tomar la propia restricción como más o menos la identidad no dará un contraejemplo, así que tomemos que tiene ambos valores propios $1$ y $-1$ . Una forma sencilla de hacerlo es simplemente intercambiar los valores propios que encontramos. Todavía tenemos la opción de las raíces cuadradas $\pm2$ en el eigespacio para $\lambda=4$ , por lo que se obtiene $$ X=P\cdot\begin{pmatrix}0&0&1\\0&\pm2&0\\1&0&0\end{pmatrix}\cdot P^{-1} $$ dando $$ X=\begin{pmatrix}-1&-1&1\\3&3&-1\\3&2&0\end{pmatrix} \quad\text{and}\quad X=-\begin{pmatrix}1&1&-1\\1&1&1\\1&2&0\end{pmatrix}, $$ que efectivamente ambos cuadran con $L$ . Se puede experimentar con variantes, como cambiar el doble valor propio de $L$ a $\lambda=-1$ en lugar de $\lambda=1$ ; todavía se puede encontrar una raíz cuadrada real de la restricción de $L$ a este eigespacio, aunque el sabor es un poco diferente.
