Una función de conjunto $c$ definido en todo $\mathbb R$ se define del siguiente modo. Definir $c(E)$ sea infinito si $E$ tiene infinitos miembros y $c(E)$ sea igual al número de elementos de $E$ si $E$ es finito; defina $c(\varnothing)=0$ . Demuestre que $c$ es una función de conjunto contablemente aditiva e invariante de traslación. Esta función de conjunto se denomina medida de recuento.
Para probar esta pregunta, debo probar:
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Contablemente aditivo para dos casos: infinito y finito.
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Invariante de traslación para dos casos: infinito y finito.
Sea $E$ es un conjunto infinito.
Contablemente aditivo: Debemos probar:
\begin{align} c\left( \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty E_n \end{align}
Ahora intento demostrar \begin{align} c\left( \bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right) = c(E_1\cup E_2\cup \ldots)=\infty=\infty+\infty+\ldots=c(E_1)+c(E_2)+\ldots = \sum\limits_{n=1}^\infty E_n \end{align}
Invariante de traslación, debemos demostrar: Si $E\in \mathcal{P}(\mathbb R)$ y $E+x=\{x+y\mid y\in E\}$ entonces $c(E)=c(E+x)$ .
Desde $E$ es infinito entonces $c(E)=\infty$ . Desde $E$ es infinito, el conjunto $E+x$ para todos $x\in \mathbb R$ también es un conjunto infinito. Entonces, $c(E+x)=\infty$ . Así que.., $c(E)=c(E+x)$ .
Por la misma vía, el caso de los finitos es similar.
No estoy seguro con mi esfuerzo. ¿Es la prueba anterior es cierto?
