Normalmente, calcular el centro de masa a partir de una densidad de masa (o el centro de carga a partir de una densidad de carga, o el centro de...) es muy sencillo: basta con integrar el vector de posición en todo el dominio, ponderado por la función de densidad (y luego normalizar dividiendo por la masa total).
Pero, ¿cómo funciona esto cuando se calcula el centro de masa de una distribución que existe en la superficie de una 2-esfera? El procedimiento normal parece basarse en la capacidad de sumar vectores con sentido, lo que no funciona en una esfera (ni en ningún otro espacio curvo). ¿Cómo se calcula el centro de masa en este caso? ¿Está bien definido este concepto?
Esa era la pregunta; lo que sigue es mero contexto:
El caso concreto al que me enfrento es un campo de datos de precipitaciones, dados en función de la latitud y la longitud (en realidad, un conjunto de datos discretos y no una función continua, por supuesto). Intento calcular el "centro de masa" de dicho conjunto de datos, tal y como se requiere para el cálculo de una determinada medida de calidad de las previsiones meteorológicas. Desgraciadamente, el documento que describe la medida no entra en detalles sobre las sutilezas del centro de masa en una esfera; parece que consideran principalmente dominios pequeños y no tienen en cuenta en absoluto la curvatura de la Tierra. Pero me gustaría ampliar la medida de calidad a dominios mayores, si es posible.
(Tenga en cuenta que soy no más trivial de encontrar el centro de masa en el espacio. ${\rm I\!R^3}$ de los puntos de la esfera, a menos, claro está, que la proyección de ese punto sobre la esfera sea también equivalente al centro de masa de la esfera. Pero no me parece evidente que sea así).
