Comprender el teorema básico del subespacio cíclico

Question

Me he atascado en la comprensión del siguiente teorema. Es del texto, Álgebra lineal (Hoffman) p.228.

Teorema Sea $\alpha$ cualquier vector distinto de cero en $V$ y que $p_\alpha$ sea el $T$ -annihilator de $\alpha$ .

(i) El grado de $p_\alpha$ es igual a la dimensión del subespacio cíclico $Z(\alpha ; T)$ .

(ii) Si el grado de $p_\alpha$ es $k$ entonces los vectores $\alpha, T\alpha, T^2 \alpha, \ldots, T^{k-1} \alpha$ constituyen una base para $Z(\alpha ; T)$ .

(iii) Si $U$ es el operador lineal en $Z(\alpha ; T)$ inducida por $T$ entonces el polinomio mínimo para $U$ es $p_\alpha$ .

A continuación se explica la notación anterior.

Definición Si $\alpha$ es cualquier vector en $V$ El $T$ -subespacio cíclico generado por $\alpha$ es el subespacio $Z(\alpha ; T)$ de todos los vectores de la forma $g(T)\alpha$ , $g$ en $F[x]$ . Si $Z(\alpha ; T) = V$ entonces $\alpha$ se denomina vector cíclico para $T$ .

Definición Si $\alpha$ es cualquier vector en $V$ El $T$ -annihilator de $\alpha$ es el ideal $M(\alpha ; T)$ en $F[x]$ formado por todos los polinomios $g$ en $F$ tal que $g(T)\alpha = 0$ . El único polinomio mónico $p_{\alpha}$ que genera este ideal también se llamará $T$ -annihilator de $\alpha$ .

Lo que no entiendo es el teorema (iii). ¿Qué es "operador lineal sobre $Z(\alpha ; T)$ inducida por $T$ '? Esta expresión me resulta absurda de entender. Aquí escribí la prueba de (iii).

Prueba de (iii) Sea $U$ sea el operador lineal sobre $Z(\alpha ; T)$ obtenida restringiendo $T$ a ese subespacio. Si $g$ es cualquier polinomio sobre $F$ , \begin{align} p_{\alpha}(U)g(T)\alpha &= p_{\alpha}(T)g(T)\alpha \\ &= g(T)p_{\alpha}(T)\alpha \\ &= g(T)0 \\ &= 0. \end{align} Así, el operador $p_{\alpha}(U)$ envía cada vector en $Z(\alpha ; T)$ en 0 y es el operador cero en $Z(\alpha ; T)$ . bla bla...

No sé por qué $p_{\alpha}(U)$ se convierte en $p_{\alpha}(T)$ . Desde $U$ es un operador lineal sobre $Z(\alpha ; T)$ la notación $p_{\alpha}(U)g(T)\alpha$ en realidad significa $p_{\alpha}(U)(g(T)\alpha)$ (Quiero decir que es la composición de las funciones)

Si seleccionamos $p_{\alpha} = x^2 + x + 1$ que cumpla la condición anterior, $$p_{\alpha}(U)g(T)\alpha = (U^2 + U +1)(g(T)\alpha)$$ No hay posibilidad de $p_{\alpha}(U)$ ser $p_{\alpha}(T)$ .

¿Qué significa $U$ ¿Quieres decir aquí el teorema?

Answer 1

Difícil entender los detalles de las anotaciones del libro, al no tenerlo. Pero como este tema es clásico, puedo decir esto:

Si $T$ es un endomorfismo de algún espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ . Podemos convertir $V$ en un $F[x]$ -con la siguiente definición de multiplicación escalar: para cualquier $\alpha\in V$ , $$ x\cdot \alpha= T\cdot\alpha $$ por lo que, para cualquier polinomio $g\in F[x]$ , $$g(x)\cdot \alpha \stackrel{\text{def}}{=}g(T)\cdot \alpha.$$ Ahora $Z(\alpha;T)$ es el submódulo de $V$ generado por $\alpha$ : $$\bigl\{ g(x)\cdot\alpha \mid g(x)\in F[x] \bigr\}$$ Es fácil comprobar que $\;T\bigl(Z(\alpha;T)\bigr)\subseteq Z(\alpha;T)$ ya que significa que $\;x\cdot\bigl(g(x)\cdot\alpha\bigr)=h(x)\cdot\alpha$ para $\;h(x)=xg(x)$ ¡!

Por tanto, la restricción del endomorfismo $T$ de $V$ à $Z(\alpha;T)$ es un endomorfismo de este último, y cuando se aplica a $Z(\alpha;T)$ podemos escribir $g(T)$ así como $g(U)$ .

Answer 2

Decir que una expresión es absurda para que la entiendas parece una forma exagerada de decir simplemente que no entiendes la expresión. Lo que se quiere decir es simplemente el operador lineal sobre el subespacio $Z(\alpha;T)$ obtenido restringiendo el operador lineal dado $T$ de todo el espacio a sólo $Z(\alpha;T)$ .

Dado que se desea un operador lineal (que mapee algún espacio a sí mismo y no a otro espacio vectorial), este tipo de restricción a un subespacio $W$ sólo tiene sentido si $W$ es $T$ -estable, es decir $T(W)\subseteq W$ . Entonces se puede definir $U:w\mapsto T(w)$ para cada $w\in W$ Esto significa que $U$ es básicamente la misma operación que $T$ pero su dominio y codominio se han reducido al subespacio $W$ . La razón para llamarlo operador lineal de $W$ inducida por $T$ y no sólo una restricción de $T$ es que en el sentido ordinario una restricción de un mapa sólo cambia el dominio, no el codominio (conjunto de llegada), por lo que la restricción de $T$ à $W$ sería un mapa $W\to V$ que no es lo que se quiere decir aquí. (Pero en la prueba utilizan la palabra "restricción" de todos modos).

En la demostración sustituyen el operador lineal $p_\alpha(U)$ en $W=Z(\alpha;T)$ mediante el operador lineal $p_\alpha(T)$ en $~V$ ; esto se justifica porque en la fórmula ese operador es aplicado a un único vector $g(T)\alpha\in W$ y este vector pasa implícitamente de ser un elemento de $W$ a ser un elemento del espacio más amplio $~V$ cuando $p_\alpha(T)$ se le aplica. (Es bastante común aplicar a valores una operación que está definida sobre un más grande dominio que el conjunto en el que se sabe que vive el valor). El efecto de aplicar $p_\alpha(U)$ o $p_\alpha(T)$ a algunos $w\in W$ es exactamente la misma (y el resultado está en $~W$ ), ya que esto es válido para $U$ y $T$ y la propiedad se extiende fácilmente a la formación de polinomios de un operador lineal.

En conclusión, aunque $p_\alpha(U)$ y $p_\alpha(T)$ son operadores diferentes (tienen dominios diferentes y codominios diferentes), los resultados de aplicar cada uno de ellos a un vector $w\in W$ por ejemplo $w=g(T)\alpha$ será el mismo.