Comprender la varianza de los efectos aleatorios en los modelos lmer()

Question

Estoy teniendo problemas para entender la salida de mi lmer() modelo. Se trata de un modelo simple de una variable de resultado (Apoyo) con interceptos estatales / efectos aleatorios estatales variables:

mlm1 <- lmer(Support ~ (1 | State))

Los resultados de summary(mlm1) son:

Linear mixed model fit by REML 
Formula: Support ~ (1 | State) 
   AIC   BIC logLik deviance REMLdev
 12088 12107  -6041    12076   12082
Random effects:
 Groups   Name        Variance  Std.Dev.
 State    (Intercept) 0.0063695 0.079809
 Residual             1.1114756 1.054265
Number of obs: 4097, groups: State, 48

Fixed effects:
            Estimate Std. Error t value
(Intercept)  0.13218    0.02159   6.123

Entiendo que la varianza de los interceptos / efectos aleatorios de estado variable es 0.0063695 . Pero cuando extraigo el vector de estos efectos aleatorios de estado y calculo la varianza

var(ranef(mlm1)$State)

El resultado es: 0.001800869 considerablemente menor que la varianza indicada por summary() .

Según tengo entendido, el modelo que he especificado se puede escribir:

$y_i = \alpha_0 + \alpha_s + \epsilon_i, \text{ for } i = \{1, 2, ..., 4097\}$

$\alpha_s \sim N(0, \sigma^2_\alpha), \text{ for } s = \{1, 2, ..., 48\}$

Si esto es correcto, entonces la varianza de los efectos aleatorios ( $\alpha_s$ ) debe ser $\sigma^2_\alpha$ . Sin embargo, no son realmente equivalentes en mi lmer() encajar.

Answer 1

Se trata de un anova unidireccional clásico. Una respuesta muy breve a su pregunta es que el componente de varianza se compone de dos términos.

$$\hat{\sigma}^2_{\alpha}=E\left[\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48} \alpha_s^2\right]= \frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}\hat{ \alpha }_s^2 +\frac{1}{48}\sum_{s=1}^{48}var(\hat{ \alpha }_s)$$

Por lo tanto, el término que has calculado es el primer término del lado derecho (ya que los efectos aleatorios tienen media cero). El segundo término depende de si se utiliza REML o ML, y la suma de cuadrados errores estándar de sus efectos aleatorios.