Forma volumétrica de un producto alabeado

Question

Me gustaría saber si existen algunas fórmulas útiles que nos permitan calcular la forma del volumen para un producto alabeado, es decir, un $n$ -de la forma $dr^2 + \phi(r)^2 g_{N^{n-1}}$ donde $N^{n-1}$ es un $n-1$ -dimensional riemannian manifold y $g_{N^{n-1}}$ es la métrica inducida sobre ella.

También el caso en que $N^{n-1}$ es la hipersfera en $\mathbb{R}^n$ sería útil: en este caso, los cálculos podrían realizarse por computación directa, pero me parece incómodo.

Agradezco de antemano cualquier sugerencia, Mattia.

Answer 1

Permítanme llamar a su producto deformado colector como $(M,g)$ .

Elegir un sistema de coordenadas local $\{x^i\}_{i=1}^{n-1}$ en $N$ y denotemos $\partial_i:=\frac{\partial}{\partial x^i}$ . Entonces $\partial_1,\ldots,\partial_{n-1},\partial_r$ forman una base para los espacios tangentes de $M$ . Denotemos $[g]$ es la matriz cuyas entradas son las componentes de la métrica del producto alabeado $g$ con respecto a esta base. Entonces tenemos \begin{align} [g]=\begin{pmatrix} 1 & \\ & \phi(r)^2[g_N] \end{pmatrix} \end{align} donde $[g_N]$ tiene un significado similar. Entonces supongo que no es difícil de calcular $\det[g]$ . Por supuesto, será en términos de $\det[g_N]$ y la función de deformación $\phi$ .