$\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\tan^2(\frac1{\sqrt{1-x^2}}-1)}{\left(1-\cos(\sqrt{2x})\right)^n}=a$ . ¿Cuál es el valor de $a+n$ ?

Question

Supongamos que $\lim_{x\to 0^+}\dfrac{\tan^2(\frac1{\sqrt{1-x^2}}-1)}{\left(1-\cos(\sqrt{2x})\right)^n}=a$ . ¿Cuál es el valor de $a+n$ ?

$1)\frac74\qquad\qquad2)\frac94\qquad\qquad3)\frac{15}4\qquad\qquad4)\frac{17}4$

El límite es $\frac00$ . Para $x\to0^+$ tanto numerador como denominador tiende a $0^+$ Así que $a>0$ . Puedo utilizar equivalencias para $\tan u\sim u$ Para $u\to0$ . Por lo tanto, en el numerador podemos escribir $\dfrac{1-\sqrt{1-x^2}}{\sqrt{1-x^2}}$ . Pero no estoy seguro de si esto ayuda. Creo que debería encontrar $n$ primero y luego evaluar el límite, pero no sé cómo encontrar $n$ en primer lugar.

Answer 1

Tenemos, de la serie de Newton: $$(1-x^2)^{-\frac 12}=1+\frac {x^2}{2}+O(x^4)$$ Además, las series de Taylor para $\tan x$ rendimientos: $$\tan x=x+\frac {x^3}{3}+O(x^5)$$ Por lo tanto, $$\tan\left(\frac {1}{\sqrt {1-x^2}}-1\right)=\frac {x^2}{2}+O(x^4)$$ El cuadrado da como resultado: $$\tan^2\left(\frac {1}{\sqrt{1-x^2}}-1\right)=\frac {x^4}{4}+O(x^6)$$ Ahora, la serie Taylor para $$\cos(\sqrt {2x})=1-\frac {(\sqrt {2x})^2}{2!}+\frac {(\sqrt {2x})^4}{4!}+O(x^3)$$ Por lo tanto, el denominador se evalúa a: $$(1-\cos(\sqrt{2x}))^n=(x-\frac {x^2}{6}+O(x^3))^n$$ Por lo tanto, está claro que un valor límite distinto de cero $$L=\frac {\frac {x^4}{4}+O(x^6)}{x^n(1-\frac {x}{6}+O(x^2))^n}$$

existe en $n=4$ y en ese valor $a=\frac 14$ . Por lo tanto, obtenemos la opción D.