Consideremos el producto infinito $$F(z)=\displaystyle\prod_{n=1}^{+\infty}(1-e^{-2\pi n}e^{2\pi iz})$$ ¿Cómo puedo demostrar que $F$ ¿está entero? ¿Puedo escribir $F$ como producto de Weierstrass $\prod E(\frac{z}{z_j},p_j)$ para ceros adecuados $z_j's$ y números enteros $p_j's$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Un producto $\prod_{n=1}^\infty (1-f_n(z))$ converge absoluta y uniformemente si $\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$ lo hace.
Para su ejemplo $|f_n(z)| = |e^{-2\pi n} e^{-iz}| = e^{-2\pi n}e^y$ (con $z=x+iy$ ). Sea $\Omega_k = \{ z = x+iy : |y| < k \}$ . Según la prueba M de Weierstrass, la serie $\sum_{n=1}^\infty f_n(z)$ converge uniformemente en $\Omega_k$ Así que $F$ es holomorfa en $\Omega_k$ y esto es válido para cada $k$ . Por lo tanto $F$ está entero.
