¿Puede alguien hablar de cómo la teoría K superior y los ciclos algebraicos desempeñan papeles en la teoría de la representación? Me interesa más saber cómo intervienen en las conjeturas de Kazhdan-Lusztig.
Por supuesto, K_0 desempeña un papel importante en la teoría de la representación, pero no sé si la teoría K superior también es útil en la teoría de la representación.
Cualquier referencia será bienvenida.
Gracias de antemano
En $K_2$ tiene un papel importante en la teoría de la representación, a partir de trabajos de Bloch en los que identificó la extensión central de Kac-Moody de las álgebras de bucles en términos de $K_2$ - una forma más actualizada de esto es el documento IHES de Deligne-Brylinski sobre $K_2$ extensiones centrales de grupos reductores. La clase universal en $H^4(BG,Z)$ para un grupo simple $G$ que es responsable del nivel en las álgebras de Kac-Moody/teoría de Chern-Simons o el $q$ en grupos cuánticos, etc., puede interpretarse como representación de esta $K_2$ extensión central. De todos modos, es una historia muy bonita de la que aún no hemos visto todo su impacto (pero que también está detrás, por ejemplo, de las famosas construcciones de Fock-Goncharov en la teoría de Teichmuller).
De todas formas ese no es el tipo de función de la que hablas, en la que tomamos grupos K superiores de una categoría de representaciones. Una forma de responder a eso es decir que, ciertamente, la teoría de homotopía completa de una categoría de representaciones es muy importante, pero ahí normalmente pedimos algo más sutil, es decir, identificar toda la categoría en sí de alguna forma geométrica en lugar de sólo su categoría de representaciones. $K$ -o los grupos de homotopía de estos últimos. Para ver realmente los grupos K superiores surgir de la manera que usted está pidiendo creo que tendría que considerar los problemas en los que las familias de representaciones juegan un papel central - representaciones individuales (o familias contractibles de los mismos) se miden por $K_0$ pero si está interesado en medir familias sobre un círculo (es decir, automorfismos) o sobre bases más complicadas (por ejemplo, esferas superiores - es decir. $n$ -automorfismos), éstos se medirían por invariantes en $K_1$ o superior $K$ -grupos.
[Edición: Cuando dije "algo más sutil" me refería a lo siguiente: n equivalencia de categorías derivadas (mejoradas) da lugar a un isomorfismo de teorías K -- por ejemplo, la localización de Beilinson-Bernstein identifica grupos K de categorías de representaciones de álgebras de Lie con las de variedades bandera. Esto ciertamente no significa que en general conozcamos explícitamente los grupos-K. Por ejemplo, hay pocas categorías que entendamos tan bien como las de las variedades bandera. $Z$ -pero los grupos K correspondientes son complicados. Sin embargo, parece que estas sutilezas son aritméticas, y no veo un claro papel teórico de la representación para ellos, aunque estaría encantado de aprender lo contrario].
Las otras dos cosas que se me ocurren a raíz de su pregunta son
en el artículo de Jacob Lurie sobre cohomología elíptica (disponible en aquí ) existe un teorema que describe el espectro de la teoría K de categorías de representaciones de grupos de bucles integrables en términos de de una versión DAG de funciones theta no abelianas (en el espíritu de los resultados de Kac-Peterson, Looijenga y Ando)
El trabajo de Beilinson sobre los factores épsilon explica maravillosamente la teoría K algebraica y la aplica en un contexto relacionado con las formas automórficas.
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