La fracción infinita $$f(n)=n+\frac{n}{n+\frac{n}{n+...}}$$ puede simplificarse a $$f(n)=\frac{n+\sqrt{n^2-4n}}{2}$$ Sin embargo, quería saber si la fracción $$1+\frac{2}{3+\frac{4}{5+...}}$$ ¿se puede simplificar aún más para obtener una respuesta utilizando el álgebra o la respuesta es un número trascendental? Al resolver esto en Desmos (hasta el 25), obtuve 1,54149408254. Esta es una imagen de la página de Desmos.
Respuesta
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En Página de Mathworld sobre constantes de fracciones continuas da la respuesta exacta como $$\frac1{\sqrt e-1}$$ que sí es trascendental.
El valor era conocido por el propio Euler. Véase la página 14 de esta traducción .
