Hay cualquier número mayor que 8 de la forma $2^{2k+1}$ que es la suma de un primo y un seguro prime? Mientras responder a @pedja la pregunta acerca de la existencia de este tipo de representaciones , me sorprendió descubrir que $32$, $128$, $512$, y $2048$ no puede ser representada de esta forma, y desde entonces me he encontrado que lo mismo es cierto para $8192$, $32768$, $131072$, $524288$, $2097152$, y $8388608$. ¿Hay algún contraejemplo? Si no, ¿cómo puede ser demostrado?
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Oli
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El congruential argumento de abajo muestra que sólo necesita preocuparse por el seguro prime $7$.
Un extraño poder de $2$ es congruente a $-1$ modulo $3$. Deje $p$ seguro prime. A continuación, excepto en los casos de $p=5$ y $p=7$, $p$ es de la forma $2(6k\pm 1)+1$. Pero $p$ no puede ser de la forma $2(6k+1)+1$, por lo que es de la forma$2(6k-1)+1$, $p$ es congruente a $-1$ modulo $3$. El seguro prime $5$ es también congruente $-1$ modulo $3$. (Lo único seguro prime que se escapa de esta congruential neto es $7$.)
Así que si $2^{2n+1}=p+q$ donde $p$ es un seguro a primer distinta de$7$, $q$ debe ser divisible por $3$. En particular, si $q$ es primo, $q$ debe $3$.
Pero esto no es posible, ya que (además de las $p=5$) un seguro prime $p$ es congruente a $3$ modulo $4$, y, por tanto, $p+3$ es congruente a $2$ modulo $4$. El caso de $p=5$ cuentas para la descomposición $8=5+3$.
Por lo tanto si $2^{2n+1}=p+q$ donde $p$ $q$ son primos y $p$ es seguro, debemos tener $p=7$. Así que la única pregunta que queda es buscar números primos $q$ de la forma $q=2^{2n+1}-7$.
Hay probabilidades de que la literatura, en números primos de la forma $2^{2n+1}-7$. Un débil intento en la experimentación no busque ninguna, pero que ciertamente no es siempre un simple pequeño divisor.
De Nicolas argumento me di cuenta de que era suficiente para comprobar si $2^{2n+1}-7$, fue el primer. Una tarea mucho más fácil de lo habitual, de fuerza bruta. Después de unos minutos de manual de pruebas en wolfram alpha me encontré con que $2^{39}$, efectivamente, podría ser escrito como la suma de un primo y un safeprime:
$$7+549755813881=549755813888=2^{39}.$$
Edit: me escribió un programa de sage para comprobar todos los extraños poderes de dos a menos de 2000. Parece que fue un poco de suerte ya que los siguientes ejemplos son 715 y 1983. He comprobado OEIS y números de tal manera que $2^{n}-7$ es de los primeros, tiene su propia página.
