Cómo integrar $\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$ utilizando la sustitución?

Question

Cómo se integra

$$\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$$

utilizando la siguiente sustitución? $u=\sqrt{1+x^2} \implies du=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\, dx$

Y ahora no sé cómo proceder utilizando la regla de sustitución.

Answer 1

Lo más rápido es sustituir sólo una parte de la integral. La sustitución $u=\sqrt{1+x^2}$ satisface

$$ \frac{1}{xu}=\frac{1}{x}-\frac{1}{1+u}\frac{x}{u} \quad \text{and} \quad \mathrm{d}u=\frac{x}{u}\,\mathrm{d}x. $$

De ello se deduce que

$$ \int \frac{\mathrm{d}x}{x\sqrt{1+x^2}}=\int \frac{\mathrm{d}x}{x}-\int \frac{\mathrm{d}u}{1+u}=\log \frac{|x|}{1+u}+\mathrm{const}=-\operatorname{arsinh}\frac{1}{|x|}+\mathrm{const}. $$

Aquí hemos utilizado la siguiente identidad para el inverse hyperbolic sine :

$$ \operatorname{arsinh}t=\log\,(t+\sqrt{t^2+1}). $$

Answer 2

$$\int\frac{dx}{x\sqrt{x^2+1}}~=~\int\frac x{x^2\sqrt{x^2+1}}~dx~=~\frac12\int\frac{d\big(x^2+1\big)}{\Big[(x^2+1)-1\Big]\sqrt{x^2+1}}~=~\frac12\int\frac{dt}{(t-1)\sqrt t}$$

Ahora dejemos que $t=u^2$ y utilizar la descomposición parcial de fracciones. $($ Alternativamente, dejemos que $x=\sinh y)$ .

Answer 3

$\newcommand{\angles}[1]{\left\langle\, #1 \,\right\rangle} \newcommand{\braces}[1]{\left\lbrace\, #1 \,\right\rbrace} \newcommand{\bracks}[1]{\left\lbrack\, #1 \,\right\rbrack} \newcommand{\dd}{{\rm d}} \newcommand{\ds}[1]{\displaystyle{#1}} \newcommand{\dsc}[1]{\displaystyle{\color{red}{#1}}} \newcommand{\expo}[1]{\,{\rm e}^{#1}\,} \newcommand{\half}{{1 \over 2}} \newcommand{\ic}{{\rm i}} \newcommand{\imp}{\Longrightarrow} \newcommand{\Li}[1]{\,{\rm Li}_{#1}} \newcommand{\pars}[1]{\left(\, #1 \,\right)} \newcommand{\partiald}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}} \newcommand{\root}[2][]{\,\sqrt[#1]{\vphantom{\large A}\,#2\,}\,} \newcommand{\totald}[3][]{\frac{{\rm d}^{#1} #2}{{\rm d} #3^{#1}}} \newcommand{\verts}[1]{\left\vert\, #1 \,\right\vert}$ Con la sustitución $\ds{x \equiv \frac{1 - t^{2}}{2t}\ \imp\ t=\root{1 + x^{2}} - x}$ : \begin{align} \color{#66f}{\int\frac{\dd x}{x\root{1 + x^{2}}}} &=\int\pars{\frac{1}{t - 1} - \frac{1}{t + 1}}\,\dd t =\ln\pars{\verts{\frac{t - 1}{t + 1}}} \\[5mm]&=\color{#66f}{% \ln\pars{\verts{\frac{\root{1 + x^{2}} - x - 1}{\root{1 + x^{2}} - x + 1}}}} + \mbox{a constant} \end{align}