Cómo integrar $\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$ utilizando la sustitución?

Question

Cómo se integra

$$\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}$$

utilizando la siguiente sustitución? $u=\sqrt{1+x^2} \implies du=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}\, dx$

Y ahora no sé cómo proceder utilizando la regla de sustitución.

Answer 1

Si $u=\sqrt{1+x^2}$ entonces $u^2 = 1+x^2$ Así que $x^2= u^2-1$ . Entonces usted tiene

\begin{align} & \int \frac 1 {x\sqrt{1+x^2}} \,dx = \int \frac {x} {x^2\sqrt{1+x^2}} \,dx \\[8pt] = {} & \int\frac{du}{u^2-1} = \int\frac{du}{(u-1)(u+1)}. \end{align} A continuación, utiliza fracciones parciales.

Answer 2

Utilice $x=\tan\theta$ , $dx=\sec^2\theta\,d\theta$

$\tan^2\theta+1=\sec^2\theta$

$$\int\dfrac{\sec^2\theta\,d\theta}{\tan\theta\sec\theta}=\int\dfrac{\sec\theta\,d\theta}{\tan\theta}=\int\dfrac{d\theta}{\sin\theta}=-\ln|\csc\theta+\cot\theta|+C$$

Answer 3

Consideremos $$I=\int \frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}}$$ y hacer $u=\sqrt{1+x^2}$ es decir $x=\sqrt{u^2-1}$ y luego $dx=\frac{u}{\sqrt{u^2-1}}du$ . Así que.., $$I=\int \frac{du}{u^2-1}$$ Ahora, utiliza la descomposición parcial de fracciones y ya está.

Answer 4

Sea $x=\tan\theta$ entonces $dx=\sec^2\theta\,d\theta$ Ahora

$$\int{dx\over x\sqrt{1+x^2}}=\int{\sec\theta\,d\theta\over\tan\theta}=\int\csc\theta\,d\theta.$$

¿Puedes seguir desde aquí?

Answer 5

Quizá sea interesante otra sustitución:

Para $x>0, v=\frac{1}{x}$ $$ \int \frac 1 {x\sqrt{1+x^2}} \,dx = \int \frac {1} {x^2\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}} \,dx = -\int\frac{dv}{\sqrt{v^2+1}} = - \ln(v+\sqrt{v^2+1})=$$ $$ =- \ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right) + C. $$ Para $x<0, v=\frac{1}{x}$ $$ \int \frac 1 {x\sqrt{1+x^2}} \,dx = -\int \frac {1} {x^2\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}} \,dx = \int\frac{dv}{\sqrt{v^2+1}} = \ln(v+\sqrt{v^2+1})+ C=$$ $$ = \ln\left(\frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}+1}\right) + C. $$