Sobre el vacío de ciertos $G^r_d(X)$ en una curva plana suave

Question

Sea $X$ sea una curva plana proyectiva suave de grado $6$ y género $10$ (sobre números complejos). Entonces mi pregunta es la siguiente :

Pregunta : ¿Es posible que exista un divisor especial $D$ de grado $9$ en $X$ admitiendo exactamente $4$ secciones independientes?

Observaciones : $(i)$ Del teorema de Clifford: tenemos, $h^0(\mathcal O_X(D)) -1 =3\leq \frac{\text{deg}(D)}{2} =4.5$ . Por lo tanto, este teorema dice que tal divisor puede existir en $X$ .

$(ii)$ Obsérvese que, si existe tal divisor en $X$ entonces pertenece a $G^3_9(X)$ . Desde, $\rho(10,3,9)=-6<0$ no podemos garantizar la no vacuidad de $G^3_9(X)$ .

Cualquier idea o comentario de alguien es bienvenido.

Answer 1

No, no es posible. Deje que $H$ sea el divisor de una recta. Utiliza el truco del lápiz sin punto base para obtener una sucesión exacta $$0\rightarrow H^0(D-H)\rightarrow H^0(D)^2\rightarrow H^0(D+H)$$ Desde $\deg(D+H)=15$ tenemos por Riemann-Roch $h^0(D+H)\leq 7$ Por lo tanto $h^0(D-H)\geq 1$ . Así $D\equiv H+E$ con $E\geq 0$ de grado 3. Pero por la dualidad de Serre, $h^0(H+E)=h^0(2H-E)$ . Ahora $E$ impone condiciones independientes a las cónicas, por lo que $h^0(2H-E)=h^0(2H)-3=3$ contradictorio $h^0(D)=4$ .