Energía funcional en contornos geodésicos activos

Question

He leído algunos artículos sobre contornos activos geométricos del autor C.Gout y Le Guyader

[1] Segmentación en condiciones geométricas mediante contornos activos geodésicos e interpolación mediante métodos de conjuntos de niveles

[2] Contornos geodésicos activos en condiciones geométricas: Teoría y aplicaciones 3D

y descubrí algo llamado Energía funcional a minimizar, definida como sigue $E(\Gamma) = \int_{\Gamma} dg(|\nabla I|)ds$

donde $d$ es una función de distancia y $I$ es la imagen inicial, con $\Gamma$ es el contorno inicial.

Conozco el significado de la función de energía en los contornos activos, pero no sé de dónde procede la fórmula anterior ni cómo deducirla.

Por favor, ayúdame dando algún detalle o referencias para llegar a conocer claramente que la energía funcional. Gracias de antemano.

Answer 1

Estas funciones energéticas no son derivado son propuesta . Uno elabora un modelo, guiado por la intuición y la experiencia previa, luego lo prueba experimentalmente... si el modelo resulta prometedor, se le añade algo de teoría para que sea publicable.

La sección 2 del primer artículo al que has enlazado explica bastante bien el origen del funcional. Queremos encontrar un "borde" en la imagen dada que se encuentre cerca de unos puntos marcados. Por lo tanto, necesitamos una curva $\Gamma$ tal que

1. el gradiente de luminosidad es grande en $\Gamma$
2. $\Gamma$ permanece cerca de los puntos marcados

Por lo tanto, se necesita un funcional que penalice las desviaciones de 1 y 2.

1. $g(|\nabla I|)$ donde $g $ es decreciente, es una penalización por gradiente pequeño
2. $d$ la distancia a los puntos marcados, es la penalización por alejarse de ellos

Los autores optaron por utilizar el producto de las sanciones, $ d\cdot g(|\nabla I|) $ de modo que si uno es cero, el otro se compensa. Se podría utilizar la suma en lugar del producto, pero la suma es menos natural porque las dos penalizaciones no tienen las mismas unidades. Multiplicar dos cantidades con unidades diferentes tiene más sentido que sumarlas.

Por último, integramos a lo largo de $\Gamma$ para determinar la sanción total: $\int_\Gamma d\cdot g(|\nabla I|)$ y luego buscar la curva que minimice este funcional.