Casi todos los números reales no negativos tienen sólo finitamente muchas mentiras múltiples en un conjunto medible con medida finita

Question

Sea $A$ sea un subconjunto medible de Lebesgue de $[0,\infty)$ tal que la medida de Lebesgue de $A$ es positivo, es decir $0<\lambda(A)<\infty$ . Sea $S$ sea el conjunto definido como sigue: $$S:=\{t\in [0,\infty):nt\in A\text{ for infinitely many }n\in\Bbb N\}$$

¿Qué podemos concluir sobre la medida de $S$ ?

Puedo adivinar que $\lambda (S)=0$ para cuando $A$ es un conjunto abierto pero no puede probarlo. Caso más particular, cuando $A$ es abierto con un número finito de componentes, entonces puedo concluir que $\lambda(S)=0$

Answer 1

Definir para $N\in\mathbb{N}$ : $$S_N=\{t\in[0,N): nt\in A\text{ for infinitely many } n\in\mathbb{N}\}.$$ Entonces $nS_N\backslash S_N\subset A$ para infinitas $n\in\mathbb{N}$ et $\lambda(nS_N\backslash S_N)\geq\lambda(S_N)$ para $n$ suficientemente grande. Continuando de este modo, se puede construir una secuencia de subconjuntos disjuntos de $A$ de medida al menos $\lambda(S_N)$ y, por tanto, puesto que $\lambda(A)<\infty$ Puede concluir $\lambda (S_N)=0$ . En consecuencia $$\lambda(S)=\lambda(\bigcup_{N=1}^{\infty}S_N)=0.$$