Q1: Determine si $f_1(x)=\cos^{-1}(1-x^2),\;\;x\in(-1,1),\;$ es diferenciable en $x=0$ .
Trabajando:
Usando la regla de la cadena, $$f_1^{'}(x) = \dfrac{-1}{\sqrt{1-(1-x^2)^2}}\cdot (-2x) = \dfrac{2x}{\sqrt{2x^2-x^4}} = \dfrac{2x}{|x|\sqrt{2-x^2}}.$$
En $x=0$ Esto no está definido. Pero no creo que esto pruebe que $f_1$ no es diferenciable en $0:\;$ la regla de la cadena se basa en la $cos^{-1}$ siendo la función diferenciable en $1 \;\;(= (1-x^2) |_{x=0})$ que no lo es, lo que significa que no puede utilizarse legítimamente aquí.
He intentado trabajar a partir de la definición de la derivada pero eso da un límite difícil de evaluar.
Trazado $f_1(x)$ muestra un punto de cúspide en $x=0$ por lo que parece no diferenciable allí, pero ¿cómo debemos demostrarlo correctamente?
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Q2: Determine si $f_2(x)=\cos^{-1}(1-x^4),\;\;x\in(-1,1),\;$ es diferenciable en $x=0$ .
Trabajando:
Usando la regla de la cadena, $$f_2^{'}(x) = \dfrac{-1}{\sqrt{1-(1-x^4)^2}}\cdot (-4x^3) = \dfrac{4x^3}{\sqrt{2x^4-x^8}} = \dfrac{4x^3}{x^2\sqrt{2-x^4}}.$$
De nuevo, no está definido para $x=0$ aunque la legitimidad de la regla de la cadena es dudosa, como en el caso anterior.
Sin embargo, el gráfico de $f_2(x)$ no tiene punto de cúspide en $x=0$ y parece diferenciable allí.
Utilizando la definición de la derivada en $0$ :
\begin{align} \lim_{h\to 0} \dfrac{f_2(0+h) - f_2(0)}{h} &= \lim_{h\to 0} \dfrac{\cos^{-1}(1-h^4) - \cos^{-1}(1)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{\cos^{-1}(1-h^4)}{h} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{4h^3}{h^2\sqrt{2-h^4}} \qquad\text{by l'Hopital's rule} \\ &= \lim_{h\to 0} \dfrac{4h}{\sqrt{2-h^4}} \qquad\text{can cancel since $h\neq 0$} \\ &= 0. \end{align}
Esto indica que $f_2$ es diferenciable en $0$ y su derivada es $0$ (de acuerdo con la trama). ¿Es esto correcto? ¿Y es incorrecto utilizar la regla de la cadena por las razones expuestas?
