Para $3x^2 + 2kx +k-1 =0$ encontrar el valor de $k$ para las que las raíces de la ecuación están más próximas entre sí

Question

Para $3x^2 + 2kx +k-1 =0$ encontrar el valor de $k$ para las que las raíces de la ecuación están más próximas entre sí

Así que mi primera aproximación al problema fue encontrar cuando el discriminante = 0 y luego redondear o algo así, sin embargo este problema estaba en la sección no calculadora de una hoja de cálculo... ¿alguien tiene alguna idea de cómo hacerlo?

Answer 1

En $x^2-px+q$ , $p$ es la suma y $q$ el producto de las raíces, y el discriminante $D=p^2-4q$ es el cuadrado de la diferencia de las raíces. Parece que quieres minimizar $|D|$ .

Answer 2

Interpretaré su pregunta como una ecuación $3x^2+2kx+k-1=0$ con dos raíces reales, hallar $k$ correspondiente al menor $|x_1-x_2|$ .

Así pues, primero calculamos el discriminante; esto da que $4k^2-4\times3\times(k-1)\geq0$ pero esto es válido para todos $k$ .

Así, podemos utilizar los teoremas de Vieta.

Observamos que $|x_1-x_2|_{min}$ corresponde a $(x_1-x_2)^2_{min}$ ; pero $(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=(\frac{2k}{3})^2-4\frac{k-1}{3}$ y el mínimo se alcanza cuando $k=\frac{3}{2}$ .

Espero haber ayudado.

Answer 3

El discriminante reducido de su ecuación es

$\delta=k^2-3(k-1)$

$=(k-\frac{3}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ .

las raíces $a$ y $b$ son tales $|a-b|=\frac{2}{3}\sqrt{\delta}$ .

están más juntos si

$\delta$ es mínimo, lo que da

$k=\frac{3}{2}$ .

Answer 4

La diferencia absoluta entre las raíces de una ecuación cuadrática es $$\frac{\sqrt\Delta}{2|a|}$$

y en su caso basta con minimizar el discriminante,

$$k^2-3k+3.$$ Esto ocurre cuando $2k-3=0$ .

Answer 5

Las dos raíces son \begin{align}x_{1,2}&=\frac{-2k\pm\sqrt{(2k)^2-4(3)(k-1)}}{2(3)}=\frac{-2k\pm\sqrt{4k^2-12k+12}}{6}\\[0.2cm]&=\frac{-2k\pm\sqrt{4(k^2-3k+3)}}{6}=\frac{-k\pm\sqrt{k^2-3k+3}}{3}\end{align} Por lo tanto, su distancia es igual a $$|x_2-x_1|=\frac{-k+\sqrt{k^2-3k+3}}{3}-\frac{-k-\sqrt{k^2-3k+3}}{3}=\frac23\sqrt{k^2-3k+3}$$ Para minimizar esta expresión sólo hay que minimizar el término dentro del cuadrado, es decir, elegir $k$ para que $$\min_k{k^2-3k+3}$$ Puedes diferenciar esta expresión y establecer su derivada igual a $0$ para encontrar su mínimo global (ya que es positivo como $x\to \pm \infty$ ). Entonces, $$\frac{d}{dk}(k^2-3k+3)=2k-3\overset{!}=0\iff k=\frac32$$ (de hecho la prueba de la segunda derivada, muestra que en $k=3/2$ existe efectivamente un mínimo, que también es global por el argumento anterior).