Ley exponencial en topología algebraica.

Question

Tuve una clase de topología algebraica, nuestro libro principal es Allen Hatcher, nuestro profesor definió un término llamado "Ley Exponencial" como el siguiente:

$Hom (X \times Y, Z) \cong Hom (X, Hom (Y, Z))$

$\alpha : X \times Y \rightarrow Z $

$\tilde{\alpha} : X \rightarrow Hom (Y, Z)$

$\tilde{\alpha} (x)(y) = \alpha (x, y) $

(Puede que tenga errores al copiar después de mi profesor, perdonadme si es así).

Mis preguntas son:

1-¿Dónde puedo encontrar este título en Allen Hatcher o cualquier otro libro (En realidad le pregunté a mi profesor y él / ella dijo que puedo encontrarlo en Munkres bajo el título de "Mapping spaces" y supuse que él / ella se refiere a Munkres de topología general y también no encontré esta ley exponencial ), ¿alguien podría ayudarme en esto por favor?

2-¿Por qué se llama ley exponencial?

Answer 1

1.) Esto ya se ha contestado en los comentarios, pero como fuente alternativa Davis y Kirk hablan de ello cuando discuten los espacios hausdorff débiles generados de forma compacta, que es lo que prefiero.

2.) Si escribe $\operatorname{Hom}(X,Y)$ como $Y^X$ (que es estándar) entonces la afirmación se convierte en $$Z^{X×Y}=(Z^Y)^X$$

Answer 2

¿Por qué se llama ¿ley exponencial?

Sea $|X|$ sea la cardinalidad del conjunto $X$ si $X$ se considera un conjunto.

Tenemos, en el categoría de conjuntos ,

$$ | Hom(X\ Y)|\ =\ |Y|^{|X|} $$

También

$$ |X\times Y|\ =\ |X|\cdot|Y| $$

Por lo tanto

$$ |Hom(X\!\times\! Y\,\ Z)|\ =\ |Z|^{|X\times Y|}\ =\ |Z|^{|X|\cdot|Y|} \ =\ (|Z|^{|Y|})^{|X|}\ =\ |Hom(X\,\ H(Y\ Z))| $$

Por eso la biyección $\ Hom(X\!\times\! Y\,\ Z)\rightarrow Hom(X\,\ Hom(Y\ Z))\ $ se llama ley exponencial para la categoría de conjuntos; y por eso esta biyección se llama ley exponencial para la categoría arbitraria para la que es cierta, siempre que sea cierta.