Supongamos que $U$ es un operador lineal acotado en un espacio de Hilbert $H$ que preserva el producto interior, es decir $(Ux, Uy) =(x,y)$ . ( $U$ no necesariamente suryectiva). Entonces podemos concluir que $ker(I-U) = ker(I-U^*)$ ¿O dar un contraejemplo?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Es cierto: $"\subset"$ :Se ha afirmado en respuestas anteriores que $$ U^*U = I.$$ Por lo tanto, las siguientes implicaciones para un $x$ ser cierto $$ x \in \operatorname{ker}(U-I) \Rightarrow U^*(U-I)x = 0 \Rightarrow (I-U^*)x = 0 \Rightarrow x \in \operatorname{ker}(U^*-I).$$ Así que ya tenemos $\operatorname{ker}(U-I) \subset \operatorname{ker}(U^*-I)$ .
$"\supset"$ : Ahora dejemos que $x \in \operatorname{ker}(U^*-I)$ . Entonces $U^*x = x$ y concluimos \begin{align} ||(U-I)x||^2 &= (Ux,Ux) - (Ux,x)-(x,Ux)+(x,x)\\ &= (x,x) - (x,U^*x) - (U^*x,x) + (x,x)\\ &= (x,x)-(x,x)-(x,x)+(x,x)\\ &= 0. \end{align} Así $x \in \operatorname{ker}(U-I)$ .
Walton
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Sí. Creo que $U$ será suryectiva, ya que $$ (x,y) = (Ux,Uy) = (x,U^*Uy)=(UU^*x,y)$$ para todos $x,y \in H$ . Así que $I=UU^*=U^*U$ . Por lo tanto, $U$ es invertible por lo que es inyectiva y suryectiva. Entonces, $$ I-U=UU^*-U = U(U^*-I)$$ Entonces, si $(I-U)x=0$ tenemos $U(U^*-I)x=0$ así que $(U^*-I)x=0$ .
user32262
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Esto es cierto, aunque no estoy seguro de que mi solución sea exagerada. El resultado es cierto para los operadores normales porque tenemos
$$ \| Tv \|^2 = \left< Tv, Tv \right> = \left< v, T^{*} T v \right> = \left< v, T T^{*} v \right> = \left< T^{*} v, T^{*}v \right> = \| T^{*} v \|^2 $$
para todos $v \in H$ . Si $T$ es normal también lo es $T - I$ y luego $v \in \ker(T - I)$ entonces $$ 0 = \| (T - I)v \| = \| (T - I)^{*} v \| = \| (T^{*} - I)v \| $$ así que $v \in \ker(T^{*} - I)$ . Sustitución de $T$ avec $T^{*}$ vemos que $\ker(T - I) = \ker(T^{*} - I)$ . En particular, esto es válido para los operadores unitarios.
Además, el resultado es válido para el desplazamiento unilateral $U$ sur $\ell_2(\mathbb{N})$ porque ambos $\ker(U - I)$ y $\ker(U^{*} - I)$ son triviales, como puede comprobarse mediante un cálculo directo.
Dado que toda isometría es unitaria, suma directa de una o más copias del desplazamiento unilateral o suma directa de un operador unitario y algunas copias del desplazamiento unilateral (problema 149 del libro Hilbert Space Problem de Halmos) obtenemos el resultado requerido.
