¿Por qué $\sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n \ldots}}} = n$?

Question

Ok, así que he estado jugando con la radical gráficos y tal últimamente, y he descubierto que si la

nth x = √(1st x √ 2nd x ... √nth x);

Entonces

$$\text{the "infinith" } x = x$$

Example:

$$\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\sqrt{4\ldots}}}}=4$$
Pruébelo usted mismo, tipo de calc en la búsqueda de Google, de golpe, a continuación, un número, como $4$, y repito, terminando con $4$, (o pulse los botones en su lugar).

Estoy de matemáticas de cabeza, no lo suficientemente grande, sin embargo, yo creo que esta secuencia es divergente o convergente o lo que sea, demasiado perezoso para buscar la diferencia.

Sin embargo, este puede ser explicado a mí? Como cómo el Teorema de Pitágoras se puede explicar visualmente.

Answer 1

Alineación

Answer 2

Supongamos que $y = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\cdots}}}$.

Multiplica ambos lados por $x$ y tomar la raíz cuadrada:

$$\sqrt{xy} = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\cdots}}} = y$$

Por lo tanto, $\sqrt{xy} = y$ y problemas tenemos $xy = y^2 \implies x = y$.

Answer 3

Es importante mostrar que el límite existe. Vamos a definir la secuencia de $$ a_k=\sqrt{\vphantom{Un}na_{k-1}} $$ Desde $\dfrac{a_k}{a_{k-1}}=\sqrt{\dfrac{n}{a_{k-1}}}$$\dfrac{a_k}{n}=\sqrt{\dfrac{a_{k-1}}{n}}$, tenemos

1. si $a_{k-1}\le n$,$a_{k-1}\le a_k\le n$; es decir, $a_k$ es creciente y acotada arriba por $n$.

2. si $a_{k-1}\ge n$,$a_{k-1}\ge a_k\ge n$; es decir, $a_k$ es decreciente y acotada abajo por $n$.

En cualquier caso, $a_k$ es convergente. El uso de la continuidad de la multiplicación por una constante y la continuidad de la raíz cuadrada, obtenemos $$ \lim_{k\to\infty}a_k=\lim_{k\to\infty}\sqrt{\vphantom{Un}na_{k-1}}=\sqrt{n\lim_{k\to\infty}a_k} $$ Cuadrar y dividiendo por $\lim_{k\to\infty}a_k$, obtenemos que $$ \lim_{k\to\infty}a_k=n $$

---

Otro Enfoque

No tan riguroso, pero quizás más intuitivo. Tomar el logaritmo de ambos lados y obtenemos $$ \begin{align} \log\left(\sqrt{n\sqrt{n\sqrt{n\dots}}}\right) &=\frac12\left(\log(n)+\frac12\left(\log(n)+\frac12\left(\log(n)+\vphantom{\frac12}\dots\right)\right)\right)\\ &=\frac12\log(n)+\frac14\log(n)+\frac18\log(n)+\dots\\ &=\log(n)\left(\frac12+\frac14+\frac18+\dots\right)\\[6pt] &=\log(n) \end{align} $$

Answer 4

Básicamente estás haciendo esto:

$x_0 = \sqrt x$

$x_1 = \sqrt{x x_0}$

$\displaystyle x_n = \sqrt{x x_{n-1}} = x^{\sum_{k=1}^n \frac{1}{2^k}} $

Así que es bastante obvio que converge a $x$

Answer 5

Supongamos que $y = \sqrt{x\sqrt{x\sqrt{x\cdots}}}$. Entonces obviamente $y^2=xy$, donde $y=x$ o $y=0$. $y \gt 0$, Que $y=x$.