Todo funciona bien con restricciones que dependen explícitamente del tiempo.
La definición de sistema holonómico de restricciones es que, para $N$ puntos materiales representados en coordenadas cartesianas en el espacio de reposo de un sistema de referencia (la definición no depende de la elección del sistema de referencia) un conjunto de $c< 3N$ las condiciones deben cumplirse $$f_j (t, \vec{x}_1, \ldots, \vec{x}_N)=0\quad j=1,\ldots,c\:, \tag{1} $$ donde las funciones f_j toman valores en $\mathbb{R}$ son $C^k$ avec $k>1$ y, cuando (1) es válida estas funciones son funcionalmente independientes para cada $t$ . En otras palabras, la matriz jacobiana de derivadas $\frac{\partial f_j}{ \partial y_l}$ donde $y_1,\ldots, y_{3N}$ son las componentes de los vectores $\vec{x}_1,\ldots, \vec{x}_N$ tiene rango $c$ cuando se cumple (1).
En este caso, localmente, es posible describir cada $\vec{x}_i$ en función de $t$ y $n= 3N-c$ componentes libres, denotados por $q^1,\ldots, q^n$ entre los $y_r$ . También son posibles otras opciones pero, localmente en el espacio y en el tiempo, las configuraciones permitidas vienen definidas por $n$ coordenadas libres.
Si las restricciones cumplen el requisito físico de limitaciones ideales en cuanto al comportamiento de las fuerzas reactivas, las ecuaciones de Newton son equivalentes a las ecuaciones habituales de Euler-Lagrange
escrito en términos de una curva en el espacio de las coordenadas libres.
El requisito de la restricción ideal generaliza el de la restricción sin fricción incluyendo algunas posibilidades adicionales, físicamente relevantes, como la restricción de rigidez.
Se ve que no hay ninguna restricción en la dependencia temporal de las funciones $f_j$ .
Como ejemplo, piense en una curva $\Gamma= \Gamma(t, s) \in \mathbb{R}^3$ en el espacio de reposo de un sistema de referencia, cuya forma cambia con el tiempo $t$ y donde $s\in \mathbb{R}$ es un parámetro regular a lo largo de la curva. Por ejemplo $$\Gamma(t,x) = (r+ ct^2) (\cos s {\bf e}_x + \sin s {\bf e}_y)\:.$$ donde $r, c\in \mathbb{R}\setminus \{0\}$ son constantes dadas.
Se trata de un círculo cuyo radio $R(t) = (r+ ct^2)$ depende del tiempo. Este espacio puede obtenerse imponiendo las restricciones $$f_1(t,x,y,z) := z \equiv 0$$ y $$f_2(t,x,y,z) := (r+ ct^2)^2 - x^2 -y^2 \equiv 0\:.$$ No es difícil ver que la matriz jacobiana asociada tiene rango 2 cuando las dos restricciones son válidas. Localmente se puede utilizar la coordenada $x$ o la coordenada $y$ para describir el espacio de configuración, pero una mejor opción es explotar una coordenada angular $s$ en el círculo.
Un punto material de masa $m$ está obligado a permanecer en $\Gamma$ supuestamente sin fricción. No existe ningún sistema de referencia en el que esta restricción no dependa del tiempo. Podemos utilizar el parámetro $s$ como coordenada lagrangiana. Si no hay fuerzas adicionales a la fuerza reactiva debida a la restricción, podemos describir la ecuación de movimiento en términos de ecuaciones de Euler-Lagrange de la Lagrangiana $$L(t, s, \dot{s}) = T(t,s,\dot{s})\:.$$ donde $$T = \frac{m}{2}{\bf v}(t,s, \dot{s})^2$$ y $${\bf v}(t,s, \dot{s}) = 2ct (\cos s {\bf e}_x + \sin s {\bf e}_y) + (r+ct^2)\dot{s} (-\sin s {\bf e}_x + \cos s {\bf e}_y)\:.$$ De modo que $$L(t, s, \dot{s}) = 4c^2t^4 +(r+ct^2)^2 \dot{s}^2 + (2 ct^2- (r+ct^2) \dot{s}) \sin (2s)\:.$$ La ecuación de Euler-Lagrange para la curva $s=s(t)$ lee $$\frac{d}{dt}\left(2(r+ct^2)^2 \frac{ds}{dt} - (r+ct^2) \sin (2s) \right)- 2\left(2 ct^2- (r+ct^2) \frac{ds}{dt}\right) \cos (2s(t))=0\:.$$
