¿Cómo se pueden manejar números muy grandes como ${1,000,000 \choose 500,000}$ utilizando la fórmula binomial y números muy pequeños como $0.5^{1,000,000}$ ?

Question

Para un problema como cuál es la probabilidad de obtener exactamente $500,000$ cabezas fuera de $1,000,000$ (1 millón) de lanzamientos de moneda justos, obtenemos un número de valor enorme y un número de valor diminuto como resultados intermedios, los cuales no se pueden calcular con muchas herramientas en línea, como calculadoras combinadas y otras calculadoras en línea.

Creo que la respuesta correcta es ${1,000,000 \choose 500,000}$ * $0.5^{1,000,000}$ .

Así que mi pregunta es, si alguien quisiera conocer esta probabilidad aproximada en forma decimal, ¿cómo la calcularía? ¿Existe algún "atajo"? Por ejemplo, sabemos que ${1,000,000 \choose 500,000}$ est $1,000,000 * 999,999 * ... 500,001$ / $500,000$ ! Así sabemos que podemos evitar que el resultado intermedio o acumulado se haga supergrande o superpequeño y, por tanto, "explote". También sabemos que hay $500,000$ términos que componen el numerador e ídem para el denominador, sin embargo hay $1,000,000$ poderes de $0.5$ necesitamos multiplicar por para poder "simplificar" (o manipular) aún más para que sea $500,000$ poderes de $0.5^2$ que es $0.25 ^ {500,000}$ . Así que para mí tendría sentido que una calculadora combinada conociera estos "trucos" y los utilizara a su favor para poder calcular el resultado. Veo muchas calculadoras de combinaciones en línea que no pueden calcular esta expresión. En su lugar me dice $infinity$ o Nan (no un número). Lo que realmente significa es que su utilidad acaba de soplar un pedazo y están poniendo la "culpa" en mí que hice algo mal.

Así, por ejemplo, si hiciera una calculadora combinada para este problema, El primer subtérmino, (de $500,000$ de ellos), obtendría sería ( $1,000,000$ / $500,000$ ) * $0.25$ = $0.5$ . El 2º subtérmino sería $999,999$ / $499,999$ * $0.25$ = $0.500000500001000002000004000008$ etc. La última ( $500,000$ sería $500,001$ / $1$ * $0.25$ = $125,000.25$ . En ese momento tendría la respuesta final, ya que estaría acumulando los resultados intermedios.

También tengo un problema similar cuando intento calcular $0.5 ^ {1,000,000}$ así que parece que alguien tiene que escribir una calculadora de combinación mejor para manejar problemas como éste.

Answer 1

Con un número tan elevado de ensayos y con $p = 0.5$ una aproximación normal a la distribución binomial también funcionaría. si $X \sim \mathrm{Binomial}(n = 10^6, p = 0.5)$ entonces $$\Pr[X = n/2] = \Pr\left[\frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}} = \frac{n/2 - np}{\sqrt{np(1-p)}}\right] \approx \Pr[-1/\sqrt{n} \le Z \le 1/\sqrt{n}]$$ utilizando la corrección de continuidad, donde $Z \sim \mathrm{Normal}(0,1)$ . Así pues, tenemos $$\Pr[X = n/2] \approx 2\Phi(1/\sqrt{n}) - 1$$ y para $n = 10^6$ se trata de $0.000797884$ . De hecho, esta aproximación es buena hasta aproximadamente $10^{-10}$ .

Answer 2

Incluso los resultados finales en los problemas que citas son muy pequeños. En ese caso, suele ser más útil informar del registro de la respuesta. Para ello, la aproximación de Stirling es tu amiga: dice $n! \approx \frac{n^n}{e^n}\sqrt{2 \pi n}$ o como registros $\log n! \approx n \log n - n +\frac 12\log(2 \pi n)$ Es muy preciso. En realidad Wolfram Alpha no tiene problemas con $1000000 \choose 500000$ informando sobre $7.9E301026$ (da muchos más plazas). Multiplicando por $2^{-1000000}$ da una cifra muy razonable 0.00079788....

Answer 3

Además de las otras respuestas, el número binomial de la forma $ {2n \choose n}$ puede ser aproximado asintóticamente (utilizando la aproximación de Stirling) por $ \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}$ . así que

$$ {2n \choose n} 2^{-2n}\approx \frac{1}{\sqrt{\pi n}} $$ que para $n=500000$ da $0.0007978836\cdots$

Answer 4

En esta respuesta se da una prueba elemental de que $$ \frac{4^n}{\sqrt{\pi(n+\frac13)}}\le\binom{2n}{n}\le\frac{4^n}{\sqrt{\pi(n+\frac14)}} $$ así, con $n=500000$ se convierte en $$ \frac1{\sqrt{\pi(500000+\frac13)}}\le\binom{1000000}{500000}2^{-1000000}\le\frac1{\sqrt{\pi(500000+\frac14)}} $$ Eso es, $$ 0.0007978842948\le\binom{1000000}{500000}2^{-1000000}\le0.0007978843613 $$ Esto demuestra por qué la aproximación de la respuesta de leonbloy es tan buena.