$\int_0^1f(x)dx= \lim_{c\rightarrow0}\int_c^1f(x)dx$

Question

Estoy leyendo "Principios de Análisis Matemático" de Rudin, estoy tratando de resolver el ejercicio 6.7 que dice:

Supongamos que $f$ es una función real sobre $(0, 1]$ y $f \in \mathcal R$ sur $[c, 1]$ para cada $c > 0$ .

Define: $$\int_0^1f(x)dx= \lim_{c\rightarrow0}\int_c^1f(x)dx$$ si este límite existe (y es finito).

(a) Si $f \in \mathcal R$ sur $[0, 1]$ , demuestran que esta definición de la integral concuerda con la anterior.

Mi solución es:

Desde $f \in \mathcal R$ sabemos que $f$ está acotada, sea $|f| \leq M$ .

Sea $c < \epsilon / M$ .

$$\left| \int_0^1f(x)dx - \int_c^1f(x)dx \right| = \left| \int_0^cf(x)dx \right|$$ $$\leq M.c = \epsilon$$

Y hemos terminado.

¿Hay algún fallo en esta solución?

Answer 1

Ampliando el comentario, para completar esta prueba, también se necesita $f$ sea integrable de Riemann en $[0,1]$ . Para observar esto, utilizaremos el Criterio de Integrabilidad de Riemann.

Sea $\epsilon >0$ . Elija $c = \frac{\epsilon}{2(M-m)}$ donde $M$ y $m$ son los valores máximo y mínimo de la función $f$ en el intervalo $[0,1]$ .

Tenga en cuenta que $f \in \mathcal R[c,1]$ Para ello $\epsilon$ , $\exists \ P=\{c,x_1,x_2....1\}$ tal que $$U(P,f) - L(P,f) < \frac{\epsilon}{2}$$

Consideremos ahora la partición $P_c = \{0,c,x_1,x_2,...1\}$ de $[0,1]$ (es decir, la partición $P$ con el punto adicional $0$ ) Correspondiendo a esta partición tenemos:

$$U(P_c,f) - L(P_c,f) = \sum_{i=1}^{n} (M_i-m_i)\Delta x_i$$

Supongamos que los valores máximo y mínimo de $f$ sur $[0,c]$ son $M_1$ y $m_1$ respectivamente. Por lo tanto, podemos dividir la suma como

$$U(P_c,f) - L(P_c,f) = (M_1-m_1)c + \sum_{i=2}^{n} (M_i-m_i)\Delta x_i$$

Tenga en cuenta que $M_1-m_1 \leq M-m$ . Además, la suma $\sum_{i=2}^{n} (M_i-m_i)\Delta x_i$ no es más que $U(P,f) - L(P,f)$ . Así,

$$U(P_c,f) - L(P_c,f) < (M-m)c + U(P,f) - L(P,f) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} < \epsilon$$ Así, $f \in \mathcal R \blacksquare$ y puede proceder como lo hizo en su solución.