Si sólo sé que el proceso de llegada es Poisson, y lo observo durante un período de tiempo previamente elegido (digamos, la unidad), observando $k$ llegadas, ¿tiene sentido describir una estimación de su parámetro temporal a partir de la observación como (A) de máxima verosimilitud, (B) de mínima varianza o (C) insesgada si $k$ es muy pequeño? Si $k$ es muy grande, entonces algo como $1/k$ sería una estimación bastante plausible según cualquier criterio. Para valores moderados de $k$ Supongo que la respuesta sigue siendo positiva, aunque más complicada. Pero me interesa el caso en que $k=2$ o incluso $k=1$ .
Respuestas
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bheklilr
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Desgraciadamente, la estimación de máxima verosimilitud del parámetro de tasa para un proceso de Poisson que se muestrea en un intervalo predeterminado $T$ no tiene una media finita (o momentos superiores). Esto se debe a que existe una probabilidad distinta de cero de que no se produzcan llegadas ( $k=0$ ) en $T$ lo que lleva a una estimación de $T/0$ . Podemos solucionar este problema de varias maneras, una de las más obvias es utilizar $\max\{k, c\}$ en lugar de $k$ donde $c$ es una constante como 1/2. La estimación ya no es de máxima verosimilitud, ni es insesgada, pero al menos tiene momentos de todo orden, y es consistente.
Desgraciadamente, tampoco podemos describir un estimador como "insesgado dado $k=1$ ", ya que después de haber observado los datos, no queda aleatoriedad (puesto que $T$ también es fijo).
mat_geek
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En el caso de los datos muestrales, la idoneidad del método no depende del tamaño de la muestra, pero sí de la precisión de la estimación. Del mismo modo, para los datos de recuento, el método de estimación del parámetro de tasa de Poisson no depende del número de sucesos, pero sí de la precisión de la estimación.
andynormancx
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¿Necesita realmente la estimación de máxima verosimilitud? ¿Se puede prescindir del estimador bayesiano de la intensidad del proceso de Poisson? Para $k$ acontecimientos observados en un periodo de duración $T$ la probabilidad sobre la intensidad está distribuida gamma con forma $k$ y tasa $T$ . Esto es correcto incluso si $k$ es uno o cero (aunque es posible que desee introducir una distribución gamma a priori).
