periodicidad tangente

Question

Tenemos $\tan(x)=\dfrac{\sin(x)}{\cos(x)}$ . Me preguntaba por qué $\tan(x+{\pi/2})=\tan(x)$ ?

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$$\frac{\sin(x+\pi/2)}{\cos(x+\pi/2)}=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\iff\frac{\sin(x+\pi/2)\cos(x)}{\cos(x+\pi/2)\sin(x)}=1\iff\frac{\cos^2(x)}{-\sin^2(x)}=1$$

Pero esto implicaría que $\cos^2x+\sin^2x=0$ . Pero esto es falso

Por otro lado tenemos que $$\tan(x+{\pi/2})=\tan(x)$$

¿verdad?

Answer 1

No, ya que $\tan\left(\frac\pi4\right)=1$ mientras que $\tan\left(\frac\pi2+\frac\pi4\right)=-1$ .

Answer 2

No.

$$\tan(x+\pi/2)=\frac{\sin(x+\pi/2)}{\cos(x+\pi/2)}$$ $$=\frac{\sin x\cos \pi/2 + \cos x \sin \pi/2}{\cos x \cos \pi/2 - \sin x \sin \pi/2}$$ $$=\frac{\cos x}{-\sin x}$$ $$=-\cot x$$

que generalmente no es igual a $\tan x$ .

El período de $\tan x$ es $\pi$ . Un razonamiento similar al anterior demuestra que $$\tan (x + \pi/2) = \frac{-\sin x}{-\cos x} = \tan x.$$

Answer 3

No, no tenemos. La relación real es $$\tan\bigl(x+\tfrac\pi 2\bigr)=-\cot x=-\frac 1{\tan x}$$ desde $\;\sin\bigl(x+\frac\pi 2)=\cos x$ mientras que $\;\cos\bigl(x+\frac\pi 2\bigr)=\color{red}-\sin x$ .

Lo cierto es que $\tan x$ tiene periodo $\pi$ simplemente porque $$\sin(x+\pi)=-\sin x,\quad\cos(x+\pi)=-\cos x.$$