¿Cuál es correcto? $$ \prod_a ab = \left[ \prod_a a\right]b $$ o $$ \prod_a ab = \prod_a \left[ ab \right] $$
Diría que la última, pero con $\sum$ tenemos $$\sum_a a + b = \left [ \sum_a a \right ] + b $$ ¿Funcionan de manera diferente, o me equivoqué? Además, ¿estas cosas están definidas en algún lugar (o al menos documentadas)? Wikipedia y Mathworld me han decepcionado en este caso.
Si $b$ no depende del índice de la suma, entonces $$\sum_{a}(ab)=\left(\sum_{a}a\right)b=b\sum_{a}a\;,$$ por lo que no hay ambigüedad. Si $b$ depende del índice de la suma, $\sum\limits_{a}ab$ debe entenderse como $\sum\limits_{a}(ab)$, o el escritor cometió un grave error.
La expresión $\sum\limits_{a}a+b$, sin embargo, es potencialmente ambigua y no debería usarse; escribe $\sum\limits_{a}(a+b)$ si esa es la interpretación deseada, y $\left(\sum\limits_{a}a\right)+b$ o, mejor aún, $b+\sum\limits_{a}a$ si esa es la interpretación deseada. Al leerlo, debes usar tu intuición y prestar atención al contexto. Por ejemplo, algo como $\sum\limits_{k=1}^na_k+b_k$ seguramente está destinado a leerse como $\sum\limits_{k=1}^n(a_k+b_k)$, aunque es una forma terriblemente descuidada de escribirlo. $\sum\limits_{k=1}^na_k+b$, por otro lado, probablemente signifique $b+\sum\limits_{k=1}^na_k$, pero si ves que se evalúa como $$\sum\limits_{k=1}^na_k+b=A(n)+nb\;,$$ probablemente quería decir $\sum\limits_{k=1}^n(a_k+b)$, y el $nb$ es el resultado de sumar esos $n$ términos de $b$.
Esta es una pregunta importante, y es una lástima que no haya una respuesta acordada. Una cosa que está clara, es que una multiplicación a su derecha se vincula más fuertemente que el operador $\sum$, siempre. A la izquierda no hay elección, y $\sum$ actúa primero en casos como $2\sum_ia_i$. Tampoco se necesitan paréntesis en casos como $$ \prod_{i\in I}\sum_{j\in J}a_{i,j} = \sum_{f:I\to J}\prod_{i\in I}a_{i,f(i)}, $$ en cuyo lado izquierdo la suma se aplica antes de la multiplicación, no por reglas de precedencia sino porque el orden de los operadores utilizados no deja espacio para otra interpretación.
Aunque algunos parecen estar en desacuerdo, me parece claro que entre $\sum$ y "$+$" o "$-$" binario a su derecha, la suma se vincula más fuertemente (y por lo tanto termina en el operador mencionado). Es cierto que $\sum_ia_i+b$ podría escribirse de manera menos confusa como $b+\sum_ia_i$, pero ¿qué tal $\sum_ia_i+\sum_jb_j$, que ciertamente no se vuelve menos confuso al escribirlo como $\sum_jb_j+\sum_ia_i? Creo que es fácil encontrar muchos ejemplos de este tipo en la literatura, donde se suman o restan dos sumas independientes sin usar paréntesis; si la convención fuera que tal "$+$" o "$-$" se vincula más fuertemente que la suma, o que no se define ninguna precedencia en absoluto, se requerirían paréntesis que encierren la primera suma (para la segunda no hay ambigüedad). Tenga en cuenta que la ambigüedad en juego aquí no es solo sintáctica sino semántica: incluir una segunda suma en el sumando de la primera agregaría los términos de la segunda suma muchas más veces que con sumas separadas, dando un resultado diferente. Basándome en el hecho de que la gente suma y resta sumas sin paréntesis, creo que hay un acuerdo (incluso si es inconsciente para algunos) en que un "$+$" o "$-$" sin paréntesis termina una suma que está en progreso.
Para $\prod$ y la multiplicación la situación debería ser la misma que para $\sum$ y la adición, pero creo que hay menos acuerdo al respecto. Por una parte, los casos que revelan lo que las personas piensan inconscientemente por lo que hacen en la práctica son mucho más raros que para la adición. Hojeando Concrete Mathematics que está repleto de sumas, tuve dificultades para encontrar ejemplos para productos. Sin embargo, encontré este en la página 490, en una lista de "analogías básicas": $$ \sum_{k\in K}\left(a_k+b_k\right) = \sum_{k\in K}a_k+\sum_{k\in K}b_k \longleftrightarrow \prod_{k\in K}a_kb_k = \left(\prod_{k\in K}a_k\right)\left(\prod_{k\in K}b_k\right). $$ La segunda identidad ilustra que estos autores creen que la situación es contraria a la aditiva: una multiplicación no termina un producto en progreso (a la izquierda), mientras que multiplicar dos productos requiere paréntesis adicionales (el segundo par es solo por razones estéticas). De hecho, toda la línea (notablemente la colocación de paréntesis) muestra bellamente cómo la notación multiplicativa no es analógica a la notación aditiva.
Otro ejemplo en el mismo libro es $\sum_{k=1}^n(1+z/k)e^{-z/k}$ (página 535) sin paréntesis adicionales. También el producto triple de Jacobi (en realidad un producto triple infinito) se escribe sin paréntesis adicionales: TAOCP Vol 4A página 396 tiene $\prod_{k=1}^\infty(1-u^kv^{k-1})(1-u^{k-1}v^k)(1-u^kv^k)$ en lugar de la más prudente $\prod_{k=1}^\infty\bigl((1-u^kv^{k-1})(1-u^{k-1}v^k)(1-u^kv^k)\bigr)$, o $\prod_{k=1}^\infty(1-u^kv^{k-1})\prod_{k=1}^\infty(1-u^{k-1}v^k)\prod_{k=1}^\infty(1-u^kv^k)$ que usaría la convención opuesta. Y aquí hay un ejemplo interesante donde un primer producto encierra un segundo producto, de [A. Borodin, Duke Math J. 140(3) (2007); proposición 5.1]; note cómo $n$ vive todo el camino hasta el final. $$ \prod_{n\geq1}{1\over1-s^{nN}} \prod_{p\in\overline{1,N}:A[p]=1\atop q\in\overline{1,N}:B[q]=1} {1\over1-s^{(p-q)(N)+(n-1)N}} $$
Pero estoy seguro de que también he visto ejemplos de esa convención opuesta: la multiplicación de productos independientes sin paréntesis adicionales. Una búsqueda rápida reveló bastantes instancias en la Combinatoria Enumerativa de Stanley$~2$, página 370, 458; sin embargo, tenga en cuenta que Stanley a menudo, pero no siempre, escribe un punto para la multiplicación, como en $\prod_x f(x)\cdot\prod_yg(y)$, que supuestamente está allí para sugerir el análisis adecuado de la fórmula.
En conclusión, para productos que involucran una multiplicación, las personas tienen diferentes convenciones, pero sorprendentemente los matemáticos parecen preferir cometer el error de escribir demasiados paréntesis en lugar de muy pocos (los programadores de computadoras son todo lo contrario).
Agregado Pensando en esto un poco más, me doy cuenta de que hay un punto de vista que hace que lo anterior parezca mucho más coherente:
La precedencia de todos los operadores grandes como $\sum$, $\prod$, $\int$ (y otros como $\bigoplus$, $\coprod$ también en casos donde sería relevante) con respecto a los operadores binarios a su derecha son todos iguales y se encuentran entre la precedencia de '$+$' y '$-$' por un lado y la precedencia de la multiplicación (notada usando la yuxtaposición) y '$/$' por el otro lado.
El operador $\cdot$ utilizado para separar productos sin la necesidad de paréntesis puede considerarse una variante sintáctica de la multiplicación introducida con el propósito explícito de tener una precedencia más baja que $\prod$ (pero luego también sería más baja que la de $\sum$, lo que permitiría escribir $\sum_ia_i\cdot\sum_jb_j$ sin paréntesis, lo cual es una propuesta interesante).
Esas expresiones son inherentemente ambiguas. En parte esto se debe a la notación, ya que le falta un delimitador que signifique el final de la suma. Contrasta esto con las integrales, que tienen $\rm\ 'dx\,'\:$ delimitando el final del integrando
$$\rm \int (f(x) + g(x))\ dx\quad vs.\quad \sum_k\ f(k) + g(k) $$
Esta es una razón por la cual algunos autores escriben sumas indefinidas en una forma análoga
$$\rm \sum\ (f(k) + g(k))\ \Delta k$$
Generalmente es mejor evitar el uso de expresiones ambiguas insertando paréntesis según sea necesario para que quede claro el análisis pretendido.
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