$\pi(\beta,\sigma^2)l(\beta,\sigma^2\vert Y)\iff\pi(\sigma^2\vert Y)\pi(\beta\vert\sigma^2, Y)?$

Question

¿Cómo se pasa de $$\pi(\beta,\sigma^2\vert Y)\propto\pi(\beta,\sigma^2)l(\beta,\sigma^2\vert Y)$$ à $$\pi(\beta,\sigma^2\vert Y)\propto\pi(\sigma^2\vert Y)\pi(\beta\vert\sigma^2, Y)$$

?

Sé que hay que utilizar la ley multiplicativa de la probabilidad: $P(A\cap B)=P(B\vert A)P(A)$

Traté de aplicar a la anterior

$P(\beta,\sigma^2)=P(\sigma^2\vert\beta)P(\beta)$ aunque no se parece demasiado $\pi(\sigma^2\vert Y)\pi(\beta\vert\sigma^2, Y)$

Answer 1

No hay ningún beneficio en tratar de pasar a través de la primera ecuación. Procediendo directamente utilizando las reglas de la probabilidad condicional le da:

$$\begin{equation} \begin{aligned} \pi(\beta,\sigma^2\vert Y) &= \frac{p(\beta,\sigma^2, Y)}{p(Y)} \\[6pt] &= \pi(\beta|\sigma^2, Y) \cdot \frac{p(\sigma^2, Y)}{p(Y)} \\[6pt] &= \pi(\beta|\sigma^2, Y) \cdot \pi(\sigma^2 \vert Y) \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

Obsérvese que este resultado no depende de ningún supuesto previo: es una consecuencia directa de las reglas de la probabilidad condicional.